Тема 4. Парная нелинейная регрессия и корреляция

Во многих случаях при решении экономических задач оказывается, что зависимость между показателями Х и Y не является пропорциональной. В этом случае нельзя использовать линейное регрессионное уравнение, а необходимо строить парную нелинейную модель.

По методике построения нелинейные модели делятся на два класса: внутренне линейные и внутренне нелинейные.

Внутренне линейные модели можно с помощью алгебраических преобразований данных привести к линейному виду.

Например, рассмотрим случай гиперболической регрессии . Сделаем замену переменной , в результате получим линейное уравнение: . Таким образом, необходимо вместо исходных данных нужно взять преобразованные данные , а затем с ними проделать все вычисления, присущие парной линейной регрессии.

Или, например, для случая показательной регрессии , прологарифмируем уравнение . Сделав замены , получаем линейное уравнение . Таким образом, вместо исходных данных нужно взять преобразованные данные , а затем по формулам (3) из предыдущей темы найти параметры и . Потом, возвращаемся к параметрам исходного уравнения .

Пример. Некоторая организация в течении 6 кварталов вкладывала всю прибыль в свое развитие. При этом предполагается, что прибыль растет по показательному закону (здесь фактор Х – номер квартала, Y – прибыль, млн. руб.). Составить уравнение регрессии, найти коэффициент нелинейной корреляции, и при =0,05 проверить его значимость.

xi, кварталы	1	2	3	4	5	6
уi, прибыль, млн.р.	1	2	5	9	15	27

Решение. Так, как уравнение внутренне линейно, преобразуем данные , получаем следующую таблицу:

	1	2	3	4	5	6
	0	0,69	1,61	2,2	2,71	3,3

Далее выполняем все вычисления по аналогии с примером из предыдущей темы. Находим средние оценки преобразованных данных:

, откуда по формуле (2) из предыдущей темы находим:

.

Возвращаемся к исходным параметрам:

.

Уравнение регрессии имеет вид .

Коэффициент корреляции равен

Проверяем на значимость:

,

откуда следует, что коэффициент корреляции значим.

Рассмотрим теперь ситуацию, когда нельзя никакими преобразованиями привести уравнение к линейному виду. Такие модели называются внутренне нелинейными. Неизвестные параметры таких моделей получают непосредственно из метода наименьших квадратов. Среди внутренне нелинейных моделей в экономике чаще всего используется параболическая регрессия, уравнение которой имеет вид: . В соответствии с методом наименьших квадратов, для нахождения неизвестных параметром а, b и с необходимо решать систему уравнений вида:

(4.1)

где указанные суммы вычислены по всем эмпирическим данным: и т. д.

Для вычисления нелинейного коэффициента парной корреляции в случае параболической регрессии используется формула

, (4.2)

Для проверки значимости вычисляется статистика

t = ,

которая сравнивается с критическим значением , которое находится по табл. 1 (см. предыдущую тему). Если , то можно считать, что коэффициент корреляции значим, показатели Х и Y зависимы, уравнение регрессии можно использовать для прогнозов и оценок.

Пример. Владелец супермаркета поставил задачу определить зависимость между средней длинной очереди в кассу (фактор Y, чел.) и количеством касс, обслуживающих клиентов (фактор Х, шт.). По результатом наблюдений были получены выборки значений:

	2	3	4	5	6	7	8
	45	42	37	31	23	12	3

Предполагается, что зависимость между факторами имеет вид . Построить уравнение параболической регрессии, найти нелинейный коэффициент парной корреляции и на уровне значимости проверить его значимость.

Решение. В соответствии с формулой (6) для вычисления коэффициентов параболической регрессии, находим суммы

откуда система есть

Решаем систему методом Крамера, получаем

, ,

, .

Откуда

Уравнение регрессии имеет вид

.

Найдем коэффициент корреляции. Вычисляем .

	2	3	4	5	6	7	8
	45	42	37	31	23	12	3
	45,19	41,86	37,00	30,62	22,71	13,28	2,33
	0,036	0,020	0	0,144	0,084	0,518	0,449
	303,8	208,2	88,9	11,8	20,9	242,4	603,7

.

Проверяем на значимость:

,

откуда следует, что коэффициент корреляции значим.

Тесты

1. Связь называется корреляционной:

а) если каждому значению факторного признака соответству­ет вполне определенное неслучайное значение результативного признака;

б) если каждому значению факторного признака соответству­ет множество значений результативного признака, т.е. определенное статистическое распределение;

в) если каждому значению факторного признака соответствует целое распределение значений результативного признака;

г) если каждому значению факторного признака соответству­ет строго определенное значение факторного признака.

2. По аналитическому выражению различают связи:

а) обратные:

б) линейные:

в) криволинейные;

г) парные.

3. Регрессионный анализ заключается в определении:

а) аналитической формы связи, в которой изменение резуль­тативного признака обусловлено влиянием одного или не­скольких факторных признаков, а множество всех прочих факторов, также оказывающих влияние на результативный признак, принимается за постоянные и средние значения;

б) тесноты связи между двумя признаками (при парной свя­зи) и между результативным и множеством факторных признаков (при многофакторной связи);

в) статистической меры взаимодействия двух случайных пе­ременных:

г) степени статистической связи между порядковыми пере­менными.

4. Под частной корреляцией понимается:

а) зависимость результативного признака и двух и более фак­торных признаков, включенных в исследование;

б) связь между двумя признаками (результативным и фактор­ным или двумя факторными):

в) зависимость между результативным и одним факторным признаками при фиксированном значении других фактор­ных признаков;

г) зависимость между качественными признаками.

5. Какое значение не может принимать парный коэффициент корреляции:

а) -0,973;

б) 0,005;

в) 1,111;

г) 0,721?

6. При каком значении линейного коэффициента корреляции связь между признаками У и Х можно считать тесной (сильной):

а) -0,975;

б) 0,657;

в) -0,111;

г) 0,421?

7. Какой критерий используют для оценки значимости коэф­фициента корреляции:

а) F- критерий Фишера;

б) t - критерий Стьюдента;

в) критерий Пирсона$

г) δ-критерий Дарбина—Уотсона?

8. Пели парный коэффициент корреляции между признаками У и X равен — 1. то это означает:

а) отсутствие связи;

б) наличие обратной корреляционной связи;

в) наличие обратной функциональной связи;

г) наличие прямой функциональной связи?

9. Если парный коэффициент корреляции между признаками У и X принимает значение 0,675, то коэффициент детерминации равен:

а) 0,822;

б) -0,675:

в) 0,576;

г) 0,456?

10. Опенки параметров регрессии (свойства оценок МНК) должны быть:

а) несмещенными:

б) гетероскедатичными;

в) эффективными;

г) состоятельными?

11. В уравнении линейной парной регрессии параметр а_i озна­чает:

а) усредненное влияние на результативный признак неу­чтенных (не выделенных для исследования) факторов:

б) среднее изменение результативного признака при изме­нении факторного признака на 1 %;

в) на какую величину в среднем изменится результатив­ный признак y, если переменную х увеличить на едини­цу измерения;

г) какая доля вариации результативного признака y учтена в модели и обусловлена влиянием переменной х?

12. Уравнение регрессии имеет вид у = 2,02 ± 0,78*x. На сколько единиц своего измерения в среднем изменился у при увеличении x на одну единицу своего измерения:

а) увеличится на 2,02;

б) увеличится на 0,78;

в) увеличится на 2.80;

г) не изменится?

13. Какой критерий используют дня оценки значимости урав­нения регрессии:

а) F-критерий Фишера;

б) t-критерий Стьюдента;

в) критерий Пирсона;

г) d-критерий Дарбина—Уотсона?

14. Какой коэффициент определяет среднее изменение резуль­тативного признака при изменении факторного признака на 1 %:

а) коэффициент регрессии;

б) коэффициент детерминации;

в) коэффициент корреляции;

г) коэффициент эластичности?

15. Чему равен коэффициент эластичности, если уравнение ре­грессии имеет вид у = 2,02 + 0.78 x , а х _ср = 5,0, у_ср = 6,0 :

а) 0.94;

б) 1,68;

в) 0,65;

г) 2,42?

16. Уравнение степенной функции имеет вид;

а) y=ax^b

б) y= a+b/x

в) y=1/(a+bx+cx²);

г) y=ab^x

17. Уравнение гиперболы имеет вид:

а) y=ax^b

б) y= a+b/x

в) y=1/(a+bx+cx²);

г) y=ab^x