6.1 Основные формулы

6.1.1. Физика атомов

1. Квантование энергии орбитального и спинового момента импульса электрона

,

где n = 1,2,3…

,

где  = 0,1,2…n-1

, где m = 0, 1, 2… ;

, m_s =  .

2. Обобщенная формула Бальмера

,

где R = 1,09^.10⁷ ; n > m, m – определяет структурную серию; n –отдельную линию этой серии.

3. Характеристическое рентгеновское излучение (закон Мозли)

 = Rc (z – b)^{2 .} (¹/m² – ¹/n²) или

,

где  - частота линий рентгеновского спектра; b – постоянная экранирования; R = 1,09^.10⁷ м^-1 – постоянная Ридберга; c – скорость света; z – порядковый номер элемента.

6.1.2. Элементы квантовой статистики и физики твердого тела

1. Распределение электронов в металле по энергиям

dN = f_ф(E)^.g(E)^.dE,

где — функция распределения Ферми – Дирака;

— плотность состояний.

2. Энергия Ферми

,

где n = – концентрация электронного газа.

3. Температура вырождения T_F = E_F/k.

4. Удельная проводимость собственных полупроводников  = e^.n^.(u_n + u_p), где n – концентрация носителей, u_n и u_p – подвижность электронов и дырок.

5. Температурная зависимость проводимости собственного и примесного полупроводника

 = ₀ exp(-E_g/2kT),  = ₀ exp(-E_пр/2kT),

где E_g, E_пр – энергия активации собственных и примесных носителей.

6.1.3. Физика ядра

1. Закон радиоактивного распада

N = N₀^.e^-t ,

где N, N₀ – число нераспавшихся ядер в момент времени t и начальный момент времени (t = 0);  - постоянная радиоактивного распада.

2. Активность A и удельная активность a препаратов

A = ‑ dN/dA, a = A/m.

3. Энергия связи нуклонов в ядре E_св=c^2.[Z^.m_p + (A – Z)^.m_n – m_a], где А – массовое число, Z – атомный номер элемента, m_p – масса протона, m_n – масса нейтрона, m_a – масса атома.

4. Энергия ядерной реакции Q = с^2.(M - M), где M и M - сумма масс покоя частиц до и после реакции.

6.2. Задачи для контрольных заданий

601. Вычислить для атомарного водорода длины волн первых трех линий серии Бальмера.

602. Определить квантовое число n возбужденного состояния атома водорода, если известно, что при переходе в основное состояние атом излучил два фотона с ₁ = 6563 Å и ₂ = 1216 Å.

603. Найти квантовое число n, соответствующее возбужденному состоянию иона Не⁺, если при переходе в основное состояние этот ион испустил последовательно два фотона с длинами волн 108,5 и 30,4 нм.

604. Определить для атома водорода и иона Не⁺ :

а) энергию связи электрона в основном состоянии;

б) потенциал ионизации;

в) первый потенциал возбуждения;

г) длину волны головной линии серии Лаймана.

605. Сколько спектральных линий будет испускать атомарный водород, который возбуждают:

а) на 4 энергетический уровень;

б) на 10 энергетический уровень;

в) на n-й энергетический уровень?

606. Найти скорость фотоэлектронов, вырываемых электромагнитным излучением с длиной волны  = 18,0 нм из ионов Не⁺, которые находятся в основном состоянии и покоятся.

607. Покоившийся атом водорода испустил фотон, соответствующий головной линии серии Лаймана. Какую скорость приобрел атом?

608. Покоившийся ион Не⁺ испустил фотон, соответствующий головной линии серии Лаймана. Этот фотон вырвал фотоэлектрон из покоившегося атома водорода, который находился в основном состоянии. Найти скорость фотоэлектрона.

609. Вычислить:

а) спиновой момент импульса для электрона и величину проекции этого момента на направление внешнего магнитного поля;

б) спиновой магнитный момент электрона и проекцию магнитного момента на направление внешнего поля;

в) отношение магнитного момента к механическому моменту для электрона при собственном движении.

610. Используя векторную модель атома, определить наименьший угол , который может образовать вектор L момента импульса орбитального движения электрона в атоме с направлением внешнего магнитного поля. Электрон в атоме находится в d-состоянии.

611. Момент импульса орбитального движения электрона в атоме водорода L = 1,83^.10^-34 Дж^.с. Определить магнитный момент Pm, обусловленный орбитальным движением электрона.

612. Определить возможные значения магнитного момента Pm, обусловленного орбитальным движением электрона в возбужденном атоме водорода, если энергия возбуждения  =12,09 эВ.

613. При увеличении напряжения на рентгеновской трубке от 16 до 24 кВ длина волны коротковолновой границы сплошного рентгеновского спектра изменилась на 0,26 А. Определить по этим данным числовое значение постоянной Планка.

614. С какой скоростью подлетают электроны к антикатоду рентгеновской трубки, если длина волны коротковолновой границы сплошного рентгеновского спектра оказывается равной 0,157 А?

615. При увеличении напряжения на рентгеновской трубке в n = 1,5 раза длина волны коротковолновой границы сплошного рентгеновского спектра изменилась на  = 26 пм. Найти первоначальное напряжение на трубке.

616. Найти длину волны , определяющую коротковолновую границу непрерывного рентгеновского спектра, если известно, что уменьшение приложенного к рентгеновской трубке напряжения на U=23 кВ увеличивает искомую длину волны в 2 раза.

617. Вычислить наибольшую длину волны _max в K-серии характеристического рентгеновского спектра скандия.

618. Найти постоянную экранирования  для L-серии рентгеновских лучей, если известно, что при переходе электрона в атоме вольфрама с М- на L-слой испускаются рентгеновские лучи с длиной волны  = 143 пм.

619. Какую наименьшую разность потенциалов U_min нужно приложить к рентгеновской трубке, антикатод которой покрыт ванадием (Z = 23), чтобы в спектре рентгеновского излучения появились все линии K-серии ванадия? Граница K-серии ванадия  = 226 пм.

620. Определить энергию  фотона, соответствующего линии K_ в характеристическом спектре марганца (Z = 25).

621. Определить скорость релятивистских электронов, вырванных с L-слоя атома молибдена при освещении его рентгеновскими лучами с длиной волны  = 0,2 Å. длина волны линии молибдена 5,395 Å.

622. С помощью закона Мозли определить: а) энергию фотона, соответствующего K_ -линии характеристического рентгеновского спектра, излучаемого вольфрамом при бомбардировке его быстрыми электронами; б) разность энергий связи K_ и L_ электронов ванадия.

623. Разность длин волн между K_ -линией и коротковолновой границей сплошного рентгеновского спектра равна 0,84 Å. Чему равно напряжение на рентгеновской трубке с никелевым (Z=28) антикатодом?

624. При увеличении напряжения на рентгеновской трубке от 10 до 20 кВ интервал длин волн между K_ -линией и коротковолновой границей сплошного спектра увеличивается в 3 раза. Из какого металла сделан антикатод трубки?

625. Используя график зависимости теплоемкости кристалла от температуры , найти:

а) дебаевскую температуру для серебра, если при Т = 65 К его молярная теплоемкость равна 15 Дж/(К^.моль);

б) молярную теплоемкость алюминия при Т = 100 К, если при Т = 280 К она равна 22,5 Дж/(К^.моль);

в) максимальную частоту колебаний для меди, у которой при Т = 125 К теплоемкость отличается от классической на 25 %;

г) удельную теплоемкость железа при Т = 273 К, температура  предполагается известной;

д) молярную теплоемкость свинца при комнатной температуре, температура  предполагается известной;

626. Оценить максимальные значения энергии и импульса фотона в алюминии.

627. Какова удельная теплоемкость кремния при температуре Т = 100 К?

628. Удельная теплоемкость алюминия при 20 С равна 840 Дж/(кг^.К). Выполняется ли при этой температуре для него закон Дюлонга и Пти?

629. Вычислить минимальную длину волны Дебая в титане, если его характеристическая температура  = 5 С, а скорость распространения звука V = 6^.10³ м/с.

630. При нагревании серебра массой м = 10 г от Т₁ = 10 К до Т₂ = 20 К было подведено Q = 0,71 Дж теплоты. Определить характеристическую температуру Дебая серебра. Считать Т<<.

631. Определить квазиимпульс p фотона, соответствующего частоте  = 0,1 _max. Усредненная скорость звука в кристалле равна 1380 м/с, характеристическая температура Дебая равна 100 К. Дисперсией звуковых волн пренебречь.

632. Определить изменение U_m молярной внутренней энергии кристалла при нагревании его от 0 до Т = 0.1 . Характеристическую температуру Дебая принять для данного кристалла равной 300 К.

633. Определить концентрацию свободных электронов в металле при Т = 0 К. Энергию Ферми принять равной 1 эВ.

634. Найти число свободных электронов, приходящихся на один атом натрия при Т = 0 К, если уровень Ферми Е = 3,07 эВ. Плотность натрия 0,97 г/см³, атомная масса 23.

635. Определить температуру, при которой в твердом проводнике вероятность найти электрон с энергией 0,5 эВ над уровнем Ферми равна 2 %.

636. Оценить температуру вырождения для калия, если принять, что на каждый атом приходится по одному свободному электрону. Плотность калия 0,86 г/см³, атомная масса 39.

637. Металл находится при температуре Т = 0 К. определить, во сколько раз число электронов с кинетической энергией от Е_F/2 до Е_F больше числа электронов с энергией от 0 до Е_F/2.

638. Электроны в металле находятся при температуре Т = 0 К. Найти относительное число свободных электронов, кинетическая энергия которых отличается от энергии Ферми не более чем на 2 %.

639. Половина всех свободных электронов в металле обладает кинетическими энергиями, большими, чем некоторая энергия Е. Вычислить величину этой энергии в долях энергии Ферми.

640. Определить отношение концентраций свободных электронов при Т = 0 К в литии и цезии, если известно, что уровни Ферми в этих металлах соответственно равны Е₁ = 4,72 эВ, Е₂ = 1,53 эВ.

641. Во сколько раз изменится при повышении температуры от 300 до 310 К электропроводность: а) металла; б) собственного полупроводника, ширина запрещенной зоны которого Е_g = 0,3 эВ?

642. Найти минимальную энергию, необходимую для образования пары электрон – дырка в кристалле GaAs, если его электропроводность изменяется в 10 раз при изменении температуры от +20 до –3 С.

643. Ширина запрещенной зоны чистого полупроводника равна примерно 1эВ. Вычислить вероятность заполнения электроном уровня вблизи дна зоны проводимости при температурах 0 и 290 К соответственно. Будет ли увеличиваться эта вероятность при указанных температурах, если на полупроводник действует электромагнитное излучение: а) с длиной волны 1,0 мкм; б) с длиной волны 2,0 мкм?

644. Покажите, что проводимости материала n- и p-типа определяются приближенными выражениями , , где – концентрации донорной и акцепторной примесей; – подвижности электронов и дырок. Все примеси ионизированы.

645. Дан образец легированного кремния p-типа длиной 5 мм, шириной 2 мм и толщиной 1 мм. Все атомы примеси ионизированы. Вычислить концентрацию примеси в образце, если электрическое сопротивление образца 100 Ом. Подвижности электронов и дырок соответственно 0,12 и 0,025 м²/(В^.с), концентрация собственных носителей 2,5^.10¹⁶ м^-3. Определить отношение электронной проводимости к дырочной.

646. Чистый кристаллический германий содержит 4,5^.10²⁸ ат/м³. При температуре 300 K один атом из каждых 2^.10⁹ атомов ионизирован. Подвижности электронов и дырок при этой температуре равны соответственно 0,4 и 0,2 м²/(В^.с). Определить проводимость чистого германия и германия, легированного элементом третьей группы, причем на каждые 10⁷ атомов германия приходится один атом примеси.

647. Используя график зави­си­мос­ти логарифма электро­про­вод­ности от обратной тем­пе­ра­туры для кремния с примесью бора (рис 6.1.), найти ширину запрещенной зоны кремния и энергию активизации атомов бора.

648. На рис 6.2 изображена полученная экспериментально зависимость электропроводности кремния от обратной температуры. Определить ширину запрещенной зоны для кремния.

649. При температуре 300 К образец германия n-типа имеет удельное сопротивление 1,70 Ом^.см и постоянную Холла R_n = 6,3^.10^-3 м³/Кл. Найти: а) концентрацию и подвижность электронов проводимости; б) их среднюю длину свободного пробега.

650. При измерении эффекта Холла пластинку из полупроводника p-типа шириной 10 см и длиной 50 мм поместили в магнитное поле с индукцией 0,5 Тл. К концам пластинки приложили разность потенциалов U = 10 В. При этом холловская разность потенциалов Uн = 50 мВ и удельное сопротивление 2,5 Ом^.см. Найти концентрацию дырок и их подвижность.

651. Тонкая пластина из кремния шириной l = 2 см помещена перпендикулярно линиям индукции однородного магнитного поля (B = 0,5 Тл). При плотности тока j = 2 мкА/мм², направленного вдоль пластины, холловская разность потенциалов Uн оказалось равной 2,8 В. Определить концентрацию n носителей заряда.

652. Какая часть свободных электронов в металле имеет при абсолютном нуле кинетическую энергию, превышающую половину максимальной?

653. Считая радиус ядра R = 1,3^.А^1/3 Фм, где А – его массовое число, оценить плотность ядер, а также число нуклонов в единице объема ядра.

654. Найти энергию связи ядра, которое имеет одинаковое число протонов и нейтронов и радиус в полтора раза меньший радиуса ядра ²⁷Al.

655. Найти с помощью табличных значений масс нуклидов:

а) среднюю энергию связи на один нуклон в ядре ¹⁶О;

б) энергию связи нейтрона и -частицы в ядре ¹¹В;

в) энергию, необходимую для разделения ядра ¹⁶О на четыре одинаковые частицы.

656. Определить массу изотопа ¹⁵₇N, если изменение массы при образовании ядра ¹⁵₇N составляет 0,2058^.10^-27 кг.

657. Энергия связи ядра, состоящего из трех протонов и четырех нейтронов, равна 39,3 МэВ. Определите массу m нейтрального атома, обладающего этим ядром.

658. Определите период полураспада радиоактивного изотопа, если 5/8 начального количества ядер этого изотопа распалось за время t = 849 c.

659. Первоначальная масса радиоактивного изотопа йода ¹³¹₅₃J (период полураспада T_1/2 = 8 суток) равна 1 г. Определите: 1) начальную активность изотопа; 2) его активность через трое суток.

660. Начальная активность 1 г изотопа ²²⁶₈₈Ra равна 3,7^.10¹⁰ Бк. Определить период полураспада T_1/2 этого изотопа.

661. Определить период полураспада Т_1/2 некоторого радиоактивного изотопа, если его активность за 5 суток уменьшилась в 2,2 раза.

662. В начальный момент активность некоторого изотопа составляет 10,8 Бк. Какова будет его активность по истечении половины периода полураспада?

663. Определить возраст древних деревянных предметов, если удельная активность изотопа ¹⁴С у них составляет 3/5 удельной активности этого же изотопа в только что срубленных деревьях. Период полураспада ¹⁴С равен 5570 лет.

664. В кровь человека ввели небольшое количество раствора, содержащего ²⁴Na с активностью А = 2,0^.10³ Бк. Активность 1см³ крови через t = 5,0 часов оказалась А = 0,267 Бк/см³. Период полураспада данного радиоизотопа Т_1/2 = 15 часов. Найти объем крови человека.

665. Определите, является ли реакция

⁷₃Li + ¹₁H  ⁷₄Be + ¹₀n

экзотермической или эндотермической, определите энергию ядерной реакции.

666. Определите, выделяется или поглощается энергия при ядерной реакции:

⁴⁴₂₀Ca + ¹₁H  ⁴¹₁₉K + ⁴₂He .

667. Определите зарядовое число Z и массовое число А частицы, обозначенной буквой Х, в символической записи реакции:

1. ¹⁴₇N + ⁴₂He  ¹⁷₈O + x;

2. ⁹₄Be + ⁴₂He  ¹²₆C + x;

3. ⁶₃Li + x  ³₁H + ⁴₂He;

668. Написать недостающие обозначения (х) в реакциях:

а) ¹⁰B(x,) ⁸Be;

б) ¹⁷О(d,n) x;

в) ²³Na(p,x) ²⁰Ne;

г) x(p,n) ³⁷Ar.

669. При столкновении позитрона и электрона происходит их аннигиляция, в процессе которой электронно-позитронная пара превращается в два -кванта, а энергия пары переходит в энергию фотонов. Определите энергию каждого из возникших фотонов, принимая, что кинетическая энергия электрона и позитрона до их столкновения пренебрежительно мала.

670. Определите суточный расход чистого урана ²³⁵₉₂U атомной электростанцией тепловой мощностью Р = 300 МВт, если энергия Е, выделяющаяся при одном акте деления, составляет 200 МэВ.

671. Определите с помощью табличных значений масс нуклидов энергию следующих реакций:

а) ⁷Li(p,n) ⁷Be;

б) ⁹Be(n,) ¹⁰Be;

в) ⁷Li(,n) ¹⁰B;

г) ¹⁶O(d,) ¹⁴N.

672. Определите энергию реакции ⁷Li + p  2 ⁴₂He, если энергии связи на один нуклон в ядрах ⁷Li и ⁴He равны 5.60 и 7.06 МэВ.

673. Определите энергии следующих реакций:

а) ³H(p,) ⁴He;

б) ¹²C(,d) ¹⁴N.

674. Вычислить с помощью таблиц массу атома ¹⁷N, если известно, что энергия реакции ¹⁷О(n,p) ¹⁷N, Q = - 7.89 МэВ.

6.3 Варианты контрольных заданий.

1. Контрольная работа по теме ”Физика атомов”

Таблица 6.1

Варианты	Номера задач
1	601, 620, 624
2	603, 611, 618
3	605, 616, 622
4	607, 614, 617
5	609, 612, 620
6	610, 611, 621
7	608, 613, 624
8	606, 615, 619
9	604, 617, 621
10	602, 609, 619

2. Контрольная работа по теме ”Элементы квантовой статистики и физики твердого тела”

Таблица 6.2

Варианты	Номера задач
1	625, 644, 652
2	627, 642, 650
3	629, 640, 648
4	631, 638, 646
5	633, 636, 645
6	634, 635, 647
7	632, 637, 649
8	630, 639, 651
9	628, 641, 650
10	626, 643, 652

3. Контрольная работа по теме ”Физика ядра”

Таблица 6.3

Варианты	Номера задач
1	653, 662
2	655, 664
3	657, 668
4	659, 670
5	661, 672
6	663, 674
7	660, 665
8	658, 667
9	656, 669
10	654, 661

4. Итоговая контрольная работа по теме ”Физика атомов. Квантовая статистика и физика твердого тела. Физика ядра.”

Таблица 6.4

Варианты	Номера задач
1	602, 624, 633, 654
2	604, 623, 635, 658
3	606, 622, 637, 655
4	608, 621, 640, 659
5	610, 619, 643, 662
6	603, 616, 645, 664
7	605, 615, 646, 663
8	607, 614, 634, 670
9	611, 613, 636, 672
10	612, 620, 641, 669

Приложения.

Таблица 1. Основные физические постоянные.

Атомная единица массы 1 а.е.м. =

Боровский радиус =0,52910^-10 м

Универсальная газовая постоянная R=8,314 Джмоль^-1К^-1

Гравитационная постоянная G=6,67310^-11 м³кг^-1с^-2

Магнетон Бора _В=0,927410^-23 ДжТл^-1

Масса нейтрона

Масса протона

Масса электрона

Постоянная Авогадро N_A=6,02210²³ моль^-1

Постоянная Больцмана

Постоянная закона смещения Вина b=2,89810^-3 мК

Постоянная Планка =

Постоянная Ридберга R_∞=2,0670710¹⁶ с^-1

Постоянная Стефана-Больцмана =5,67010^-8 Втм^-2К^-4

Скорость света в вакууме с=2,997910⁸ мс^-1

Элементарный заряд е=1,60210^-19 Кл

Таблица 2. Астрономические величины.

Величина Ее значение

Масса (кг)

Солнца 1,9710³⁰

Земли 5,9610²⁴

Луны 7,3510²²

Средний радиус (м)

Солнца 6,9610⁸

Земли 6,3710⁶

Луны 1,7410³

Среднее расстояние (м)

от Солнца до Земли 1,49610¹¹

от Земли до Луны 3,84410⁸

Таблица 3 Плотность веществ.

Вещество , 10³ кг/м³ Вещество , 10³ кг/м³

Алюминий 2,70 Медь 8,93

Берилий 1,84 Ртуть 13,6

Калий 0,87 Соль (NaCl) 2,17

Таблица 4. Диэлектрическая проницаемость диэлектриков.

Вещество  Вещество 

Воск 7,8 Слюда 6

Вода 81 Стекло 6

Керосин 2 Фарфор 6

Масло 5 Эбонит 2,6

Парафин 2

Таблица 5. Работа выхода электрона из металла.

Металл А, эВ Металл А, эВ

Алюминий 3,74 Никель 4,84

Натрий 2,27 Цинк 3,74

Таблица 6. Атомный номер А и масса m (а.е.м) некоторых

элементарных частиц и изотопов.

Z Название Символ m, а.е.м.

— Нейтрон n 1,00867

1 Протон p 1,00728

1 Водород ¹H 1,00783

2 Гелий ⁴Не 4,00260

5 Бор ¹¹В 11,0093

6 Углерод ¹²С 12,0000

10 Неон ²⁰Ne 19,9924

14 Кремний ²⁸Si 27,9769

26 Железо ⁵⁶Fe 55,9349

30 Цинк ⁶⁸Zn 67,9248

56 Барий ¹³⁷Ва 136,9058

82 Свинец ²⁰⁷Pb 206,9759

92 Уран ²³⁵U 235,0439