Вопросы для повторения.

1. Линейное программирование. Математическая модель.

2. Общая задача линейного программирования. Управляющие переменные. Целевая функция. Решение задачи линейного программирования.

3. Основная (каноническая) задача линейного программирования. Допустимое решение. Область допустимых решений. Оптимальное решение задачи линейного программирования.

4. Графический метод решения задачи линейного программирования.

5. Симплекс-метод решения задачи линейного программирования, его геометрический смысл. Правила перехода к канонической форме. Стандартная форма задачи линейного программирования. Опорный план задачи линейного программирования, признак его оптимальности. Вырожденный и невырожденный план.

6. Устройство симплекс-таблицы. Разрешающий элемент, разрешающие строка и столбец. Правила перехода к новой симплекс-таблице.

7. Балансовая модель. Модель Леонтьева. Коэффициенты прямых и полных материальных затрат. Основные свойства матрицы коэффициентов прямых материальных затрат. Продуктивная матрица. Признаки продуктивности.

8. Модель Неймана. Пространство товаров. Вектор цен. Базисные производственные процессы. Матрицы затрат и выпуска. Вектор интенсивностей.

9. Международная модель торговли (линейная модель обмена). Структурная матрица торговли.

Задачи для самостоятельного решения.

1. Мебельная фабрика выпускает стулья двух типов. На изготовление одного стула 1-го типа, стоящего 8 денежных единиц расходуется 2м. досок стандартного сечения, 0,5м² обивочной ткани и 2 человека – часа рабочего времени. Аналогичные данные для стульев 2-го типа даются цифрами: 12 денежных единиц, 4м., 0,25 м². и 2,5 человеко-часа. В наличии имеются: 440м. досок, 65м². обивочной ткани, 320 человеко-часов рабочего времени. Какие стулья и в каком количестве нужно выпустить, чтобы стоимость продукции была максимальной? Решить задачу графическим методом.

2. При переработке некоторого лекарственного сырья возможно использование одной из двух технологий. При переработке сырья по 1-ой технологии выход полезного продукта составляет 15⁰/₀, на производство 1кг. продукта затрачивается 8 человеко-часов и 12 денежных единиц. При переработке сырья по 2-ой технологии выход полезного продукта составляет 10⁰/₀, на производство 1кг. продукта затрачивается 14 человеко-часов и 9 денежных единиц. Фонд заработной платы не превышает 3960 денежных единиц, трудовые ресурсы 4480 человеко-часов. Масса лекарственного сырья 440кг. Какое количество сырья надо переработать, чтобы получит максимальный выход полезного продукта? Решить задачу графическим методом.

3. На звероферме могут выращиваться чёрно-бурые лисицы и песцы. Для обеспечения нормальных условий их выращивания используется 3 вида кормов. Количество корма каждого вида, которое должны ежедневно получать лисицы и песцы, приведено в таблице. В ней же указано общее количество корма каждого вида, которое может быть использовано зверофермой, и прибыль от реализации одной шкурки лисицы и песца.

Вид корма	Количество единиц корма, которое ежедневно должны получать		Общее количество корма
	лисица	песец
I II III	2 4 6	3 1 7	180 240 426
Прибыль от реализации одной шкурки (д. е.)	16	12

Определить графическим методом, сколько лисиц и песцов следует выращивать на звероферме, чтобы прибыль от реализации их шкурок была максимальной.

4. Решить задачу 1 симплекс-методом.

5. Решить задачу 2 симплекс-методом.

6. Предприятие рекламирует свою продукцию с использованием четырёх источников массовой информации: телевидения, радио, газет и расклейки объявлений. Анализ рекламной деятельности в прошлом показал, что эти средства приводят к увеличению прибыли соответственно на 10, 5, 7 и 4 у. е., в расчёте на 1 у. е., затраченную на рекламу. На рекламу выделено 50000 у. е. Администрация предприятия не намерена тратить на телевидение более 40 %, на радио и газеты – более 50 % от общей суммы выделенных средств. Как следует предприятию организовать рекламу, чтобы получить максимальную прибыль? Решить задачу симплекс-методом.

7. Решить задачу симплекс-методом. Предприятие электронной промышленности выпускает две модели радиоприёмников, причём каждая модель производится на отдельной технологической линии. Суточный объём производства первой линии – 75 изделий. На радиоприёмник первой модели расходуется 10 однотипных элементов электронных схем, на радиоприёмник второй модели – 8 таких же элементов. Максимальный суточный запас используемых элементов равен 800 единицам. Прибыль от реализации одного радиоприёмника первой и второй модели равна 30 и 20 ден. ед. соответственно. Определите оптимальные суточные объёмы производства первой и второй моделей, чтобы прибыль была максимальной.

8. Предприятие выпускает продукцию двух видов: первый цех специализируется на выпуске продукции первого вида, второй цех – продукции второго вида. Часть выпускаемой продукции идёт на внутреннее потребление, остальная является конечным продуктом. Требуется составить баланс (заполнить таблицу) производства продукции (валового и конечного продукта) с учётом внутреннего потребления, если известны матрица коэффициентов прямых затрат А и вектор конечной продукции Y:

9. Даны коэффициенты прямых затрат a_ij и конечный продукт Y_i. Требуется определить:

1. межотраслевые поставки продукции;

2. заполнить схему баланса;

3. проверить продуктивность матрицы А.

Отрасли	Коэффициенты прямых затрат aij		Конечный продукт Yi
	1	2
1	0,1	0,2	200
2	0,4	0,4	240

10. Найти матрицы коэффициентов прямых, косвенных (1-го и 2-го порядков) и полных затрат. Найти объёмы валового продукта.

    Отрасли	Межотраслевые поставки		Конечный продукт
    	промышленность	сельское хозяйство
    промышленность	45	55	70
    сельское хозяйство	90	40	90

11. Даны матрицы технологических процессов и вектор цен P=(3, 5) в модели Неймана. Найти, сколько потребуется запасов и сколько будет произведено продукции при интенсивности z₁=2, z₂=3 технологических процессов.

12. Структурная матрица торговли трёх стран имеет вид Найти бюджеты первой и второй стран, удовлетворяющие сбалансированной бездефицитной торговле при условии, что бюджет третьей страны равен 1100 усл. ед.

Заключение

В настоящем учебном пособии были рассмотрены методы линейной и векторной алгебры, изучаемые студентами первого курса инженерно-экономического факультета в дисциплинах «Математика» и «Линейная алгебра», а также рассмотрено применение этих методов к решению экономических задач. Рассмотрены задача линейного программирования, экономико-математические модели межотраслевого баланса Леонтьева, «затраты-выпуск» Неймана, модель международной торговли.

В пособии введены и подробно рассмотрены такие важнейшие математические понятия, как матрицы и матричные уравнения, системы линейных уравнений, евклидовы векторные пространства, разложение вектора по базису. Большое количество теоретического материала в пособии и задач, подкрепляющих его, поможет студентам наиболее полно овладеть материалом и подготовиться к дальнейшему изучению дисциплин, использующих математический аппарат.

Данное пособие может использоваться студентами при подготовке к практическим занятиям, при выполнении типовых расчётов, а также в качестве справочника при изучении специальных предметов.

Пособие может быть рекомендовано начинающим преподавателям при подготовке курса лекций по математическим дисциплинам.