2. Вычисление длины дуги
Линия (L) в пространстве называется гладкой, если в каждой точке (L) можно провести касательную к этой линии. Если линия без самопересечений задана параметрическими уравнениями
то
дифференцируемость x(t),
y(t),
z(t)
гарантирует гладкость линии; аналогичное
утверждение справедливо для плоской
линии. Если линия без самопересечений
на плоскости с заданной полярной системой
координат определена полярным уравнением
,
то и в этом случае дифференцируемость
влечёт гладкость этой линии.
Если
гладкая линия (L) на
плоскости (в пространстве) задана
параметрическими уравнениями x
= x(t),
y = y(t)
(и вдобавок к этим z
= z(t)
для линии в пространстве),
,
то длина
линии (L) находится по
формуле
(
).
Если
гладкая линия (L) задана
явным уравнением y =
f(x)
, a
x
b,то
.
Для
гладкой линии (L),
заданной полярным уравнениями
,
.
Пример
31. Найти длину
линии, заданной уравнением
,
,
.
Решение.
Имеем
.
Пример
32. Найти длину дуги логарифмической
спирали
,
находящейся внутри окружности
.
Решение. Дуге
спирали, лежащей внутри окружности
,
соответствуют значения
.
Поэтому
.
3. Вычисление объёмов тел
Если
в пространстве заданы ось 0х, тело
(Т), проекцией которого на 0х является
отрезок [a; b]
, и для любого x
[a; b]
известна площадь S(x)
поперечного сечения S(x),
то объём V тела
(Т) находится по формуле
.
В
частности, если тело (Т) получено путём
вращения графика функции
,
вокруг оси 0х, то объём тела вращения
равен 
.
При вращении графика функции f(x) вокруг оси 0у формула объёма прини-
Рис.7. мает вид
.
Пример 33. Найти объём V тела (Т), ограниченного эллипсоидом
.
Решение. Проекцией тела (Т) на ось 0х является отрезок
[–a; a]. Найдём формулу площади S(x) поперечного сечения, x [a; b]. Перепишем уравнение эллипсоида в виде
.
Это
есть уравнение поперечного сечения
эллипсоида плоскостью, проходящей через
точку x и перпендикулярной
оси 0х. А мы уже знаем (задача 27), что
площадь фигуры, заключённой внутри
этого эллипса, равна
.
Следовательно,
.
ВАРИАНТЫ ИНДИВИДУАЛЬНЫХ ДОМАШНИХ ЗАДАНИЙ
Задание 1.
Найдите интегралы.
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
.
Задание 2
Найдите интегралы.
1.
а)
; б)
; в)
;
2.
а)
; б)
; в)
;
3.
а)
; б)
; в)
;
4.
а)
; б)
; в)
;
5.
а)
; б)
; в)
;
6.
а)
; б)
; в)
;
7.
а)
; б)
; в)
;
8.
а)
; б)
; в)
;
9.
а)
; б)
; в)
;
10.
а)
; б)
;
в)
;
11.
а)
; б)
; в)
;
12.
а)
;б)
; в)
;
13.
а)
; б)
;
в)
;
14.
а)
; б)
; в)
;
15.
а)
; б)
; в)
;
16.
а)
; б)
; в)
;
17.
а)
; б)
; в)
;
18.
а)
; б)
; в)
;
19.
а)
; б)
; в)
;
20.
а)
; б)
;в)
;
21.
а)
; б)
; в)
;
22.
а)
;б)
; в)
;
23.
а)
; б)
; в)
;
24.
а)
; б)
; в)
;
25.
а)
; б)
; в)
;
26.
а)
; б)
; в)
;
27.
а)
; б)
;в)
;
28.
а)
; б)
; в)
;
29.
а)
; б)
; в)
;
30.
а)
; б)
; в)
.