Дифференциал

Пусть имеем функцию y=f(x), определенную на промежутке D и непрерывную в точке . Тогда приращению аргумента отвечает приращение функции

,

бесконечно малое вместе с .

Большую важность имеет вопрос: существует ли для такая линейная однородная относительно бесконечно малая , что их разность оказывается, по сравнению с , бесконечно малой высшего порядка малости

, (1)

где есть величина, стремящаяся к нулю при быстрее, чем .

При равенство (1) показывает, что бесконечно малая (главная часть приращения ) эквивалентна бесконечно малой . В этом случае выражение называется дифференциалом функции и обозначается символом или .

Доказывается, что для того, что бы функция y=f(x) в точке имела дифференциал, необходимо и достаточно, чтобы она была дифференцируема в точке (т.е. имела в этой точке конечную производную ). При этом и формула (1) имеет вид .

Итак, дифференциал всегда равен .

Дифференциал аргумента . То есть приращение аргумента тождественно равно дифференциалу аргумента. Тогда производную функции можно выразить через дифференциалы функции и аргумента:

.

Геометрический смысл дифференциала: в то время как есть приращение ординаты кривой y=f(x), dy является приращением ординаты касательной.

В приложениях часто бывает более удобно работать с дифференциалом, чем с производной в точке. Кроме того, дифференциал – главная часть приращения функции и может быть вычислен сравнительно просто. Дифференциал является источником приближенных формул, так как при . Подробнее:

,

откуда

.

Например, надо найти приближенно . Легко вычисляются значения и при . Тогда

.

1.8 Первообразная, неопределенный и определенный интегралы. Формула ньютона – лейбница

Интегральные вычисления возникли из потребности создать общий метод нахождения площадей, объемов и центров тяжести. Способ вычисления площади уходит корнями в III в. до н.э., когда Архимед изобрел метод «исчерпывания». Этот метод через две тысячи лет преобразовался в метод интегрирования.

Пусть в некоторой области определены функции и . Пусть . Тогда называется производной функции , а – первообразной функции . Любая функция имеет множество первообразных.

По отношению к дифференцированию интегрирование является обратным действием.

Неопределенным интегралом от функции называется ее произвольная первообразная

,

если , где х – переменная интегрирования, а – подынтегральная функция.

Геометрически неопределенный интеграл представляет семейство плоских кривых, смещенных друг относительно друга вдоль вертикальной оси.

Свойства неопределенного интеграла

1. Дифференциал неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению

.

2. Неопределенный интеграл дифференциала функции равен самой функции с точностью до произвольной постоянной

.

3. Постоянная выносится из под знака интеграла

.

4. Интеграл суммы равен сумме интегралов

.

5. Под знаком интеграла можно проводить замену переменной

.

Таблица основных интегралов получается из основных формул дифференциального исчисления путем прямого их обращения.

Так как интегрирование – действие обратное дифференцированию, то его можно проверить дифференцированием.

Всякое обратно действие сложнее прямого. Поэтому прежде чем воспользоваться таблицей интегралов приходится заданный интеграл преобразовывать к табличному. Наиболее часто используемые методы преобразования метод разложения, метод подстановки (замена переменной), интегрирования по частям.