1.2. Математическое описание усилительных устройств

1.2.1. Передаточные функции усилительных устройств

Основой для проведения анализа свойств существующих и синтеза новых усилительных устройств с заданными характеристиками является их математическое описание или математическая модель. Основным вопросом, с которым приходится сталкиваться при составлении математической модели, является вопрос ее адекватности реально существующему объекту. Выбранная математическая модель должна, с одной стороны, отражать свойства реального объекта с требуемой степенью точности, а с другой стороны, быть не слишком сложной, что предопределяет получение конечного результата доступными средствами.

В общем случае элементы, используемые для построения усилительных устройств, имеют нелинейные характеристики, причем их параметры зависят как от времени, так и от внешних условий эксплуатации. Поэтому точное математическое описание усилительных устройств достаточно громоздко и базируется на использовании систем нелинейных дифференциальных уравнений, параметры которых зависят от времени и различных внешних возмущающих воздействий.

Однако в большинстве практических случаев этими зависимостями можно пренебречь и с точки зрения математического описания рассматривать усилительное устройство как непрерывную, линейную стационарную систему с сосредоточенными параметрами и детерминированным законом управления.

Непрерывной называется система, в которой все сигналы ее устройств и объектов регулирования являются непрерывными функциями времени; линейной - система, для которой справедлив принцип суперпозиции; стационарной - система, параметры и характеристики которой не зависят от времени. Детерминированным называется закон управления, предполагающий однозначную связь между входным воздействием и соответствующим значением выходного параметра.

Тогда для математического описания усилительного устройства можно воспользоваться системой дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Учитывая, что нас, интересует реакция усилительного устройства на некоторое входное воздействие, исходная система дифференциальных уравнений может быть приведена к одному уравнению высокого порядка вида:

(1.2.1)

где u_вх и u_{вы х} - мгновенное значение входного возмущения и выходного сигнала соответственно, a_n и b_m - постоянные коэффициенты, содержащие суммы и произведения параметров элементов, входящих в состав усилительного устройства (например, R, L и C).

Воспользовавшись операторной формой записи уравнений, т. е. обозначив , уравнение (1.2.1) можно представить в виде:

(1.2.2)

Уравнение (1.2.2) позволяет получить передаточную функцию усилительного устройства по выбранному входному

возмущению, под которой понимается выражение:

(1.2.3)

1.2.2. Представление передаточной функции элементарными звеньями

Как следует из (1.2.3), передаточная функция усилительного устройства в общем виде представляется отношением двух многочленов высокого порядка. Из алгебры известно, что полином произвольной степени всегда может быть представлен в виде произведения простых множителей вида , причем любой из коэффициентов в общем случае может равняться нулю, поэтому передаточная функция усилительного устройства может быть представлена в виде произведения элементарных дробей вида:

(1.2.4)

причем любой из коэффициентов данного выражения, как уже было отмечено, также может равняться нулю. Таким образом, описание любого усилительного устройства может быть сведено к выражению вида:

(1.2.5)

Из выражения (1.2.5) следует важный практический вывод, что передаточную функцию произвольного вида можно представить в виде произведения нескольких элементарных передаточных функций, причем набор этих функций согласно (1.2.4) будет ограничен, т. е. функция имеет стандартный вид. Если теперь каждой элементарной передаточной функции поставить в соответствие типовое звено, то любое усилительное устройство может быть представлено в виде каскадного включения нескольких типовых звеньев.