1. Цель расчетно - графических заданий

Расчетные задания являются основным этапом изучения дисциплины «Механика» и выполняются с целью:

- расширения и закрепления знаний по изучаемой дисциплине;

- приобретения навыков использования теоретических знаний для решения конкретных технических задач;

- приобретения навыков самостоятельной инженерной работы и принятия решений;

- выработки навыков оформления технической документации: составления расчетно-пояснительной записки и разработки графического материала, иллюстрирующего расчеты.

2. Выбор варианта задания

Информация для выполнения РГЗ определяется вариантом задания – тремя последними номера N зачетной книжки студента и соответствующей таблицей 9 исходных данных в методических указаниях [3].

Пусть K, L и M - три последних цифры номера N, перечисленные в порядке слева направо. Пусть например, зачётная книжка имеет номер 10195. Тогда K= 1, L= 9, M= 5.

Более подробные дополнительные инструкции по выбору исходной информации к задаче могут быть приведены в условии этой задачи.

3. Изгиб с кручением прямых круглых валов

3.1. Общие сведения

К руглые валы являются наиболее часто встречающимися элементами механизмов и машин. Валы служат для передачи крутящего момента и сил между деталями, вращающимися вместе с валом. Такими деталями могут быть зубчатые колеса зубчатых передач, шкивы ременных передач, ролики фрикционных передачи звездочки цепных передач. При работе таких передач возникают силы различной природы, образующие в общем случае произвольную пространственную систему сил.

Н

Рис. 3.1

а рисунке 3.1, а представлено аксонометрическое изображение одной из возможных схем промежуточных валов механических передач приборов с установленными на них зубчатыми колесами. На рис. 3.1, б приведено проекционное изображение той же схемы. Каждое из колес может быть цилиндрическим прямозубым или косозубым, коническим, червячным.

На рисунке обозначено:

и - диаметры зубчатых колес 1 и 2; и - точки зацепления 1- го и 2- го колес с колесами предыдущей и последующей ступеней передачи; - угол между направлением на точку относительно точки , измеренный относительно продольной оси вала в направлении, противоположной направлению вращения часовой стрелки; и окружные силы, приложенные к зубчатым колесам 1 и 2 в точках зацепления и и направленные по касательным к окружностям радиусов и , проходящим через эти точки ; и - радиальные силы в зацеплениях колес, линии действия которых проходят через точки и перпендикулярно оси вала и направленные к оси вала; и - осевые силы в зацеплениях колес, проходящие через точки и и направленные параллельно оси вала; , , - длины участков вала.

В

Рис. 3.2

методических указаниях [3] величины сил даны в Н, длины – в мм, угол в градусах, момент м в Н*м

В зависимости от вида колес осевые силы и в зацеплениях колес могут иметь другие направления или отсутствовать.

Если величина осевой силы отрицательна, то это значит, что соответствующая сила имеет направление, противоположное направлению, указанному на расчетной схеме вала (рис. 9 [3]).

Для учета реальных направлений окружных и осевых сил и получения универсальных формул, верных для всех вариантов исходных данных, удобно использовать величины и .

Если силы и направлены также, как и на схеме нагружения вала, то принимают, что = 1. В противном случае = -1.

Если силы и направлены также, как и на схеме нагружения вала, то принимают, что = 1. В противном случае = -1.

Послу введения коэффициентов и вместо векторов , , следует использовать векторы , , .

Вращающий момент, передаваемый зубчатыми колесами определяется по формуле .

В валах механизмов возникают в общем случае нормальные напряжения от нормальных сил и изгибающих моментов и касательные напряжения от крутящего момента и поперечных сил. В общем случае в точках вала наблюдается объемное напряженное состояние.

Построение расчетных схем валов в сопротивлении материалов не рассматривается, поскольку требует знания общетехнических дисциплин, в частности теории механизмов и машин и деталей машин.

В общем случае на вал, как твердое тело, действует пространственная система сосредоточенных сил, создающая моменты произвольных направлений.

При расчете валов используются ранее рассмотренные методы определения напряжения при растяжении- сжатии, изгибе балок и чистом кручении валов.

Существует три вида расчетов валов - расчет на прочность, расчет на жесткость и расчет на выносливость.

Перед проведением расчетов любого вида необходимо построить эпюры внутренних силовых факторов в поперечных сечениях вала.

Расчетная практика показывает, что в общем случае напряжениями от нормальных и поперечных сил в сравнении с напряжениями от крутящих и изгибающих моментов можно пренебречь.

3.2. Определения реакций опор вала

Поскольку положение точки на окружности диаметра произвольно перед определением опорных реакций систему сил, приложенных к валу, следует привести к точкам и продольной оси вала, в которых эта ось пересекается с плоскостями, проходящими через точки и ортогонально этой оси. При приведении сил используется теорема Вариньона и известное утверждение статики «силу, приложенную к абсолютно твердому телу, можно не изменяя ее действия на тело, переносить параллельно ей самой в любую точку тела, добавляя при этом пару сил с моментом, равным моменту переносимой силы относительно точки, в которую переносится эта сила».

Для определения момента силы , приложенной в точке , относительно точки используется формула

,

где вектор – радиус точки , начало которого находится в точке .

Вектор направлен ортогонально плоскости, содержащей векторы и , в ту сторону, глядя откуда можно видеть вращение, которое может вызвать сила , происходящим против хода часовой стрелки.

При решении задач более удобной является формула

,

где - орты осей системы координат; - проекции вектора на оси координат; - проекции силы на оси координат.

После раскрытия определителя в последней формуле получаем

,

, (3.1)

.

Вектор – радиус точки с началом в точке имеет проекции

, , .

После переноса сил в точку продольной оси вала получаем силу с проекциями

,

, (3.2)

,

и момент с проекцими, определяемыми по формулам (3.1)

,

, (3.3)

.

Вектор – радиус точки с началом в точке имеет проекции

,

,

.

После переноса сил в точку продольной оси вала получаем силу с проекциями

,

(3.4)

,

и момент с проекциями, определяемыми по формулам (3.1)

,

, (3.5)

.

Для упрощения расчетов рассматривается раздельное воздействие на вал сил, расположенных в вертикальной и горизонтальной плоскостях.

Вал опирается на подшипники и . В расчетах опору считают шарнирно – подвижной, а опору - шарнирно – неподвижной. Поэтому от действия осевых сил реакция возникает только в опоре .

3.2.1. Определение реакций в вертикальной плоскости (

В вертикальной плоскости действуют силы , , , , а также пары сил, образующих моменты и . Действие этих сил уравновешивается реакциями , и

Уравнения равновесия сил и моментов сил, приложенных к валу в вертикальной плоскости, относительно точек А и В имеют вид

,

, (3.6)

. (3.7)

Первое уравнение для всех схем нагружения вала одинаково и имеет вид

.

Поэтому осевая реакция в опоре определяется по формуле

. (3.8)

Вид уравнений (3.6) и (3.7) системы зависит от взаимного рас- положения опор и колес.

Таблица 1

№ сх.	Уравнения равновесия моментов сил относительно точек А и В и выражения для определения реакций в плоскости
1
2
3
4
5

Таблица 2

№ сх.	Уравнения равновесия моментов сил относительно точек А и В и выражения для определения реакций в плоскости
1
2
3
4
5

Уравнения равновесия моментов сил относительно точек А и В и выражения для определения реакций в плоскости приведены в табл. 1.

Для проверки правильности определения реакций и можно использовать уравнение

.

3.2.2. Определение реакций в горизонтальной плоскости (

В вертикальной плоскости действуют силы , , а также пары сил, образующих моменты и . Действие этих сил уравновешивается реакциями , .

Уравнения равновесия сил и моментов сил, приложенных к валу в горизонтальной плоскости, относительно точек А и В имеют вид

, (3.9)

. (3.10)

Для проверки правильности определения реакций и можно использовать уравнение

.

Вид уравнений (3.9) и (3.10) системы зависит от взаимного расположения опор и колес. Уравнения равновесия моментов сил относительно точек А и В и выражения для определения реакций в плоскости приведены в табл. 2.

3.3. Построение эпюр внутренних силовых факторов

в поперечных сечениях вала

Поскольку нормальные напряжения от нормальных сил и касательные напряжения от поперечных сил значительно меньше нормальных напряжений, вызванных изгибом, и касательных напряжений, вызванных кручением, для расчетов вала на прочность и жесткость строятся эпюры изгибающих моментов в вертикальной и горизонтальной плоскостях и эпюра крутящих моментов.

Для определения внутренних силовых факторов в поперечных сечениях вала используется метод сечений. Для этого в нужном месте вал рассекается поперечным сечением, одна из частей вала с приложенными к ней внешними силами и реакциями отбрасывается, ее действие на оставленную часть вала заменяется искомыми внутренними силовыми факторами – изгибающими моментами и крутящим моментом . Величины и определяются из уравнений равновесия оставленной рассматриваемой части вала или по соответствующим правилам знаков.

Изгибающие моменты определяются по формулам

,

,

где и - изгибающие моменты в сечении вала.

Моменты и в данном сечении вала определяются относительно главных центральных осей инерции этого сечения вала.

Момент (или ) считается положительным, если он в точках первой четверти сечения вызывает сжимающее нормальное напряжение.

Суммарный изгибающий момент в сечении вала определяется по формуле

.

В сечении вала, в котором хотя бы один из моментов ( или ) имеет разрыв, суммарный изгибающий момент должен определяться слева и справа от этого сечения.

Крутящий момент в поперечном сечении вала, нагруженного сосредоточенными моментами, определяется по формуле

,

где - момент, приложенный к рассматриваемой части вала.

В основу этого соотношения положено правило знаков, согласно которому крутящий момент в рассматриваемом сечении считается положительным, когда вращает рассматриваемую часть вала против хода часовой стрелки, если смотреть в направлении, противоположном направлению внешней нормали к сечению.

При наличии в некотором сечении одновременно действующих крутящего и изгибающего моментов в сечениях вала определяется эквивалентный (приведенный) момент

= .

В сечении вала, в котором хотя бы один из моментов ( или ) имеет разрыв, эквивалентный изгибающий момент должен определяться слева и справа от этого сечения.

3.4. Расчет вала на прочность

При расчете вала на прочность опасным сечением вала считается сечение, в котором максимален эквивалентный момент. Это сечение определяется по эпюре эквивалентного изгибающего момента.

Условие прочности вала имеет вид

,

где = 50 МПа - заниженное допускаемое нормальное напряжение материала вала; - момент сопротивления сечения вала при изгибе.

Диаметр вала определяется по формуле

.

Если в опасном сечении вала действует только крутящий момент , то диаметр сечения можно определить из условия прочности на кручение

,

где = 0,5 - допускаемое касательное напряжение материала вала.

3.5. Расчет вала на жесткость

С целью уменьшения упругого мертвого хода, особенно проявляющегося в точных приборных (не силовых) механизмах крутильная жесткость валов ограничивается допускаемым углом закручивания . Условие жесткости вала на кручение имеет вид

,

где - допустимая величина угла закручивания вала на рабочей длине .

Рабочая длина вала определяется суммированием длин участков вала, на которых крутящий момент вала отличен от нуля.

В зависимости от точности механизма величину принимают равной нескольким угловым минутам.

Диаметр вала на участке, нагруженном только крутящим моментом, определяется по формуле

,

где =8*10⁴ МПа– модуль сдвига материала вала.

Если модуль сдвига определяется в МПа, то крутящий момент можно подставлять в последнюю формулу в Н*мм.

Если условия жесткости вала не выполнено, то есть , то в качестве диаметра вала принимают наибольший из диаметров и .

Полученный диаметр выражают в миллиметрах и округляют до целого числа из предпочтительного ряда размеров, в котором числа заканчиваются цифрами 0, 2, 4, 5, 6 и 8.