A.4. Содержание дисциплины

1. Наименование тем и виды занятий

№ п/п	Разделы дисциплины	Лекции (час.)	Практ. занятия (час.)	Сам. Изучение
	I семестр	54	72	4
	Действительные числа, действительные функции и пределы	26	20
	Дифференциальное исчисление функций одной действительной переменной	12	24
	Дифференциальное исчисление функций нескольких переменной	16	28
	II семестр	54	72	4
	Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных	34	46
	Дифференциальные уравнения	20	26
	III семестр	36	36	6
	Функциональные ряды, ряды Фурье и преобразования Фурье	16	16
	Ос­нов­ные по­ня­тия тео­рии функ­ций ком­плекс­ной пе­ре­мен­ной и операционное исчисление	20	20

4.2.Содержание разделов дисциплины, изучаемых в третьем семестре

Раздел 6. Функциональные ряды, ряды Фурье и преобразования Фурье (16ч).

Лекция 55. Ос­нов­ные по­ня­тия тео­рии функ­цио­наль­ных ря­дов. Рав­но­мер­ная схо­ди­мость функ­цио­наль­но­го ря­да.

Лекция 56. Не­пре­рыв­ность, диф­фе­рен­ци­руе­мость и ин­тег­ри­руе­мость сум­мы функ­цио­наль­но­го ря­да.

Лекция 57. Степенные ряды. Теорема Абеля. Интервал и радиус сходимости. Не­пре­рыв­ность, диф­фе­рен­ци­руе­мость и ин­тег­ри­руе­мость сум­мы сте­пен­но­го ря­да. При­ме­не­ние сте­пен­ных ря­дов к ре­ше­нию диф­фе­рен­ци­аль­ных урав­не­ний.

Лекция 58. Ряды Тейлора. Различные способы записи остаточного члена формулы Тейлора. Разложение элементарных функций в ряды Тейлора Применение рядов Тейлора в приближенных вычислениях.

Лекция 59. Ос­нов­ные за­да­чи гар­мо­ни­че­ско­го ана­ли­за. Ор­то­го­наль­ные сис­те­мы функ­ций. Три­го­но­мет­ри­че­ская сис­те­ма функ­ций. Ряд Фу­рье для функций с периодом 2 .

Лекция 60. Ряд Фу­рье для функций с произвольным периодом. Ряд Фурье для четных и нечетных функций. При­зна­ки схо­ди­мо­сти ря­дов Фу­рье .

Лекция 61. Неравенство Бесселя и ра­вен­ст­во Пар­се­ва­ля. Комплексные ряды Фурье.

Лекция 62. Интеграл Фурье, преобразование Фурье и его свойства.

Раз­дел 7. Ос­нов­ные по­ня­тия тео­рии функ­ций ком­плекс­ной пе­ре­мен­ной и операционное исчисление (20 ч)

Лекция 63. Ком­плекс­ные функ­ции ком­плекс­ной пе­ре­мен­ной. Пре­дел и не­пре­рыв­ность. Чи­сло­вые ря­ды с ком­плекс­ны­ми чле­на­ми.

Лекция 64 . Сте­пен­ные ря­ды с ком­плекс­ны­ми чле­на­ми. Ряд Тей­ло­ра. По­ка­за­тель­ная и ло­га­риф­ми­че­ская функ­ции. Три­го­но­мет­ри­че­ские функ­ции

Лекция 65. Про­из­вод­ная. Ус­ло­вия Ко­ши-Ри­ма­на (Да­лам­бе­ра-Эй­ле­ра) диф­фе­рен­ци­руе­мо­сти функ­ций ком­плекс­ной пе­ре­мен­ной. Гар­мо­ни­че­ские функ­ции и их связь с ана­ли­ти­че­ски­ми функ­ция­ми. Гео­мет­ри­че­ский смысл ар­гу­мен­та и мо­ду­ля про­из­вод­ной

Лекция 66. Ин­те­гра­лы от ком­плекс­но­знач­ных функ­ций дей­ст­ви­тель­ной и ком­плекс­ной пе­ре­мен­ной. Про­стей­шие свой­ст­ва.

Лекция 67. Тео­ре­ма Ко­ши. Ин­те­граль­ная фор­му­ла Ко­ши для простого и сложного контура.

Лекция 68. Ряд Тейлора. Нули аналитической функции. Ряд Ло­ра­на. Классификация осо­бых точ­ек. Раз­ло­же­ние функ­ции в ряд Ло­ра­на.

Лекция 69. Тео­рия вы­че­тов. Вы­чет от­но­си­тель­но по­лю­са. Тео­ре­ма Ко­ши о вы­че­тах.

Лекция 70. Вы­чис­ле­ние вычетов. Применение вычетов при вычислении ин­те­гра­лов .

Лекция 71. Преобразование Лапласа, его свойства. Изображение оригиналов и .Свойства: линейность, однородность, смещение, запаздывание. Дифференцирование оригиналов и изображений. Интегрирование оригиналов и изображений. Свертка.

Лекция 72. Нахождение оригиналов по изображению. Применение операционного исчисления к решению дифференциальных уравнений и систем дифференциальных уравнений.

Самостоятельное изучение. Применение рядов Фурье в прикладных задачах .

Рекомендуемая литература

а) основная литература:

1. Кудрявцев. Л.Д. Краткий курс математического анализа / Л.Д. Кудрявцев. М., 1987.

2. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления / Г.М. Фихтенгольц. М., 2001. Т.1.2.3.

3. Зорич В.А. Математический анализ / В.А. Зорич. М:. МЦНМО, 2002 г.

4. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисление. Т. 2: Учебное пособие для втузов. – М: Наука, 2001. – 560 с.