Задача потребительского выбора принимает следующий вид:
u(x)
= (x |
−b )a1 |
(x |
2 |
−b |
2 |
)a2 |
...(x |
n |
−b |
)an |
→ max |
1 |
1 |
|
|
|
|
n |
|
(3.37) |
|||
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∑pi |
xi = I |
|
|
|
|
||||
i=1
3.5. Двойственная задача потребительского выбора
Теперь предположим, что потребитель не стремится приобрести набор товаров, обеспечивающий ему максимальную полезность. Потребитель выбрал уровень полезности u*, который должен обеспечить ему приобретаемый набор товаров, и среди одинаково полезных наборов он стремится приобрести как можно более дешевый.
В данной ситуации мы говорим о задаче потребительского выбора в двойственной постановке (двойственной задаче потребительского выбора).
Математическая формулировка двойственной задачи потребительского выбора имеет следующий вид:
|
n |
→ min |
|
||
|
∑pi xi |
(3.38) |
|||
|
i=1 |
|
|
) = u * |
|
u(x ,...., x |
n |
|
|||
|
1 |
|
|
|
|
Можно дать следующую интерпретацию полученному решению задачи потребительского выбора в условиях модели Стоуна: сначала приобретается минимально необходимое количество b1, b2, … bn единиц соответствующего вида товара. После приобретения минимальной потребительской корзины рассчитывается оставшаяся сумма, которая распределяется между различными видами товаров в соответствии с весовыми коэффициентами b1, a2, … an и определяется количество дополнительных единиц каждого вида товара, которое необходимо приобрести потребителю.
3.6. Функция спроса Маршалла
В силу свойств решения задачи потребительского выбора функции спроса Маршалла являются однородными функциями нулевой степени, т. е. для любого α>0 имеет место:
|
* |
= M1 |
( p1 |
,..., pn , |
I) = M1 (αp1 ,...,αpn ,αI), |
|
|||||||||||
x1 |
|
||||||||||||||||
x* |
= M |
|
( p |
,..., p |
, |
I ) = M |
|
(αp |
,...,αp |
,αI ), |
(3.39) |
||||||
|
2 |
|
2 |
|
1 |
|
n |
|
....... |
|
2 |
|
1 |
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x* = M |
n |
( p |
,..., p |
) = M |
n |
(αp |
,...,αp |
,αI). |
|
|||||||
|
|
n |
|
|
1 |
|
n |
|
|
1 |
|
n |
|
|
|
||
Таким образом, мы можем сделать вывод, что объемы потребления товаров не зависят непосредственно от самих цен товаров и дохода потребите-
40
ля, а зависят лишь от отношения цен и отношения дохода к цене (относительных цен и относительного дохода). Выбирая цену первого товара p1 в качестве единицы измерения, получаем:
x* = M1 1, p2 |
|
,..., pn |
|
|
, |
I |
|
|
, |
|
||||||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
p1 |
|
|
|
|
|
p1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p1 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
p2 |
|
|
|
pn |
|
|
|
I |
|
|
|
|
||
|
x |
* |
|
1, |
|
,..., |
|
|
, |
|
|
|
||||||||
|
2 |
= M 2 |
|
|
p |
|
|
|
p |
|
p |
, |
(3.40) |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
...... |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
x* |
= 1, |
p2 |
p |
,..., |
pn |
p |
, I |
p |
. |
|
|
||||||
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
||
3.7. Модель общего равновесия Вальраса
Рассмотрим экономику, в которой производится n видов продукции с помощью m факторов производства. Обозначим через p=(p1, … pn)T вектор цен выпуска, w=(w1, … wm)T – вектор цен факторов производства. Будем предполагать, что рынок функционирует в условиях совершенной конкуренции (т. е. все потребители и фирмы являются ценополучателями).
Предположим, что на рынке присутствуют k фирм, каждая из которых способна выпускать любой из видов продукции, осуществляя затраты факторов производства. Обозначим через q(i)=(q1(i), … qn(i))T вектор выпуска продукции i-й фирмой, через x(i)=(x1(i), … xm(i))T вектор затрат факторов производства i-й фирмы.
Производственную функцию фирм запишем в неявном виде:
Фi(q1(i) ,...,qn(i) , x1(i) ,..., xn(i) ) = 0, i = |
|
(3.41) |
1, k |
Как и раньше, будем предполагать, что фирмы максимизируют свою прибыль с учетом собственной технологии производства (производственной функции). Тогда задачи фирм будут выглядеть следующим образом:
Пi |
= pT q(i) |
−cT x(i) |
→ max, |
|
|
|
||
i =1, k |
(3.42) |
|||||||
Ф (q(i) ,..., q(i) , x(i) ,..., x(i) ) = 0, |
||||||||
i |
1 |
n |
n |
n |
|
|
|
|
Каждая система содержит уравнение с n+m+1 неизвестным. Поскольку эти уравнения справедливы для каждой из фирм, то имеем (n+m+1)k уравнений для задачи общего равновесия.
Кроме этого, в экономике имеется l потребителей, каждый из которых владеет определенным фактором производства (рабочей силой), который он может продать на рынке ресурсов и получить доход. Предполагается, что потребитель получает определенную долю прибыли каждой фирмы.
41