Методическое пособие 808
.pdfРис. 2. Модель двигателя с цельным ротором
Для такой расчётной модели отыскание базисных функций автономного ротора представляет самостоятельную задачу. Нижний конец вала ротора, заканчивающийся долотом, находится под действием силы реакции забоя Ро, а верхний - под действием реакции P ра- диально-осевой опоры. Параметр C характеризует жёсткость нижней опоры (забоя) на поперечное смещение. Поэтому граничные условия математически представляются так
x = 0, |
~ |
′′(0) = 0, |
~ |
|
~ |
~ |
′(0) |
y |
y |
′′′(0) = −C y |
(0)− Po y |
||||
|
~ |
′′(1) = 0, |
~ |
~ |
′(1) |
(2) |
|
x = 1, |
y |
y |
′′′(1) = P y |
|
Автономный ротор можно представить моделью стержня с условиями закрепления (2), колебания которого описываются дифференциальным уравнением вида
EJ∂ 4 y |
+ |
m∂ 2 y |
= 0 . |
(3) |
∂ x4 |
|
|||
|
∂ t 2 |
|
Из уравнения (3) методом разделения переменных Фурье [4] легко получить дифференциальное уравнение упругой линии стержня
|
|
|
~ IV |
|
|
4 ~ |
|
|
(4) |
|
|
|
yi (x) |
−αi yi (x) = 0 , |
|||||
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
αi4 |
= |
ml 4 wi2 |
. |
(5) |
||
|
|
|
|
||||||
Здесь αi |
|
|
|
|
|
EJ |
|
|
|
- характеристические число, соответствующее i -ой форме колебаний; |
m - по- |
||||||||
гонная масса; |
EJ - изгибная жесткость; wi - собственная частота, связанная с критическим |
||||||||
числом оборотов ni вала соотношением ni |
|
= 30 wi |
π . |
|
|||||
Общее решение (4) имеет вид: |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
~ |
αi x |
+ C2i e |
−α i x |
+ C3i |
sin αi x + C4i cosαi x . |
(6) |
||
|
yi |
(x) = C1i e |
|
|
283