- •Введение
- •Глава 1. Неопределенный интеграл
- •§1. Первообразная, неопределенный интеграл и его свойства
- •§2. Табличные интегралы
- •§3. Почленное интегрирование. Метод внесения под знак дифференциала
- •§4. Интегралы, содержащие в знаменателе квадратный трехчлен или квадратный корень из него
- •§5. Интегрирование рациональных дробей
- •§6. Замена переменной
- •§7. Метод интегрирования по частям
- •§8. Интегрирование некоторых классов тригонометрических функций
- •§9. Тригонометрические и универсальная тригонометрическая подстановки
- •§10. Применение различных методов интегрирования
- •§4. Метод интегрирования по частям и замена переменной в определенном интеграле
- •§9. Физические приложения определенного интеграла: вычисление длины пути, работы переменной силы
- •и многие другие
- •Заключение
- •Библиографический список
Заключение
Вы убедились, что классический определенный интеграл Римана является мощным инструментом, который получила наука для решения широкого класса геометрических, физических и других разнообразных задач. Для вычисления определенного интеграла по формуле Ньютона-Лейбница применяется операция интегрирования, но, к сожалению, существует достаточно много элементарных функций, интегрирование которых или теоретически (так называесые неберущиеся интегралы) или практически невозможно. Но математически в конце концов придумали, как покорить непреодолимую вершину. На основе рядов Маклорена (см. изложение этой плодотворной идеи на странице 33) можно брать интегралы от функций, допускающих такое разложение. В §11 второй главы изложены приближенные методы вычисления определенных интегралов с заданной точностью.
Другим наиважнейшим приложением неопределенных интегралов (наряду с рассмотренной в начале второй главы формулой Ньютона-Лейбница, которая позволяет вычислять определенный интеграл Римана) являются дифференциальные уравнения, то есть уравнений с производными, в которых процесс решений основан на интегрировании.
Также вычисление различных обобщений интеграла Римана (двойные, тройные, криволинейные и поверхностные интегралы) основано на операции интегрирования (а в многомерных случаях неоднократного), от вас потербуется уверенное овладение ею.
Для дальнейшего самостоятельного изучения темы «Интегрирование» и «Приложения определенного интеграла» желательно прорешать задания I-VII (с. 67) своего варианта из РГЗ по данным темам; воспользоваться разбором основных методов решения примеров на интегрирование в [3], [6], [7] руководствах из библиографического списка. И только после упорного и, зачастую, длительного труда вы достигнете успеха в практическом овладении важнейшего, но в то же время сложного, инструмента математического анализа!
92
Библиографический список
1.Н. С. Пискунов Дифференциальное и интегральное исчисления, т. I (гл. VIII, X-XII) М.: Интеграл-Пресс, 2009. 415 с.
2.А. Ф. Бермант, И. Г. Араманович. Краткий курс математического анализа. Спб.; М.; Краснодар: Лань, 2009. 735 с.
3. МУ № 662 В. С. Муштенко, Л. В. Стенюхин, Л. В. Акчурина, Е. В. Богачева Неопределенный и определенный интеграл. Методические указания и задания по математике. ВГАСУ Воронеж, 2003. 46 с.
4.Г. Н. Берман Сборник задач по курсу математического анализа. Спб.: Профессия, 2008. 432 с.
5.Б. П. Демидович Задачи и упражнения по курсу математического анализа. М.; Владимир, 2010. 495 с.
6.П. Е. Данко, А. Г. Попов, Т. Я. Кожевникова Высшая математика в
упражнениях и задачах. Учебное пособие, 7-е изд., испр., М., 2016. 815 с. 7. И. А. Марон Дифференциальное и интегральное исчисление в примерах и
задачах. Функции одной переменной. М.: Наука, 1973. – 398 с.
93
ОГЛАВЛЕНИЕ |
|
Введение....................................................................................................................... |
3 |
Глава 1. Неопределенный интеграл........................................................................... |
4 |
§1. Первообразная, неопределенный интеграл и его свойства.................................................. |
4 |
§2. Табличные интегралы.............................................................................................................. |
5 |
§3. Почленное интегрирование. Метод внесения под знак дифференциала............................ |
6 |
§4. Интегралы, содержащие в знаменателе квадратный трехчлен или квадратный корень из
него ................................................................................................................................................ |
10 |
§5. Интегрирование рациональных дробей............................................................................... |
12 |
§6. Замена переменной................................................................................................................. |
19 |
§7. Метод интегрирования по частям......................................................................................... |
22 |
§8. Интегрирование некоторых классов тригонометрических функций................................ |
26 |
§9. Тригонометрические и универсальная тригонометрическая подстановки...................... |
28 |
§10. Применение различных методов интегрирования............................................................ |
31 |
Глава 2. Определенный интеграл и его приложения............................................. |
34 |
§1. Определенный интеграл, его геометрический смысл и свойства ..................................... |
34 |
§2. Вычисление определенного интеграла. Формула Ньютона-Лейбница............................ |
37 |
§3. Некоторые частные случаи вычисления определенных интегралов для четных, |
|
нечетных и периодических функций.......................................................................................... |
38 |
§4. Метод интегрирования по частям и замена переменной в определенном интеграле..... |
41 |
§5. Вычисление площади плоской фигуры в декартовой, полярной системах координат и в
случае, когда граница задана параметрически.......................................................................... |
42 |
§6. Дифференциальный метод.................................................................................................... |
46 |
§7. Вычисление длины дуги плоской кривой............................................................................ |
47 |
§8. Вычисление объемов тел с известными площадями поперечных сечений. Нахождение
объемов тел вращения ................................................................................................................. |
50 |
§9. Физические приложения определенного интеграла: вычисление длины пути, работы |
|
переменной силы.......................................................................................................................... |
52 |
и многие другие............................................................................................................................ |
52 |
§10. Несобственные интегралы первого и второго рода.......................................................... |
55 |
§11. Приближенное вычисление определенных интегралов................................................... |
62 |
Расчетно-графические задания по теме «Неопределенный и определенный |
|
интегралы»................................................................................................................. |
67 |
Заключение................................................................................................................. |
92 |
Библиографический список...................................................................................... |
93 |
94 |
|
Учебное издание
Кущев Анатолий Борисович Сумера Светлана Сергеевна Шаруда Владимир Алексеевич
ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
Неопределенный и определенный интеграл
Учебно-методическое пособие
Рисунок на обложке выполнен автором
Редактор Каширина О. В.
Подписано в печать 04.10.2021.
Формат 60х87 1/16. Бумага для множительных аппаратов Уч-изд. л. 6,0. Усл. печ. л. 5,6. Тираж 350 экз. Заказ № 164.
ФГБОУ ВО «Воронежский государственный технический университет» 394026 Воронеж, Московский проспект, 14
Участок оперативной полиграфии издательства ВГТУ 394026 Воронеж, Московский проспект, 14