Р ешение. Динамическое давление равно разности полного и статистического, что и определяется с помощью трубки Пито-Прандтля.

Рис. 37

Определить p можно с помощью выражения:

Представим объем в виде выражения: и воспользовавшись формулой: получим решение в общем виде:

2.7. Специальная теория относительности

Теория абсолютного пространства и времени просуществовала всего два столетия. На рубеже 19 – 20 веков квантовая механика Шредингера и теория относительности Энштейна позволили осознать, что окружающий мир не трехмерен, а четырехмерен, в котором время, взаимосвязанное с пространством, играет особую роль. Все вокруг стало относительным и вероятностным, многие точные понятия начали терять смысл, и время стало зависеть от скорости и степени искривленности пространства.

Мир Галилея и Ньютона был Евклидов – бесконечен и однороден, - хотя уже время рассматривалось как важная и особая координата. Происходящие процессы описывались в непрерывном и бесконечном пространстве-времени. Ньютоновская механика опиралась на абсолютное и единое время.

В 1905 году А. Эйнштейн предложил теорию относительности, суть которой заключалась в том, что на быстро движущемся объекте время течет медленнее, изменяются параметры тел и их свойства. То есть время стало величиной относительной.

В 1908 году немецкий ученый Г. Минковский доказал неразрывное единство пространства и времени и ввел новое понятие пространство-время. Мир стал четырехмерным.

В 1916 году Эйнштейн завершил создание специальной теории относительности (СТО), согласно которой пространство-время может искривляться под действием сил тяготения (математически искривленные пространства описал Н. Лобачевский в неевклидовой геометрии). Было открыто, что в сильном поле тяготения время течет медленнее. Эти эффекты были названы релятивистскими (relative – относительный).

Постулаты СТО. Специальная теория относительности Эйнштейна расширяет границы классической ньютоновской физики, действующей в области нерелятивистских скоростей, малых по сравнению со скоростью света с, на любые, в том числе релятивистские, то есть сравнимые с с, скорости. Все результаты релятивистской теории при → 0 переходят в результаты классической нерелятивистской физики (принцип соответствия).

Специальная теория относительности опирается на два постулата:

Первый постулат: все физические законы – как механические, так и электромагнитные – имеют одинаковый вид во всех инерциальных системах отсчета (ИСО).

Второй постулат Эйнштейна: скорость света в вакууме одинакова для всех инерциальных систем отсчета и равна c ≈ 3·10 м ⁄ с. Этот постулат содержит сразу два утверждения:

а) скорость света с не зависит от скорости v источника,

б) скорость света c не зависит от того, в какой инерциальной системе отсчета находится приемник, то есть не зависит от скорости приемника v.

Преобразования Лоренца. Принцип относительности Галилея утверждает, что все законы механики имеют

одинаковый вид во всех ИСО. Пусть система К' движется о тносительно системы К с постоянной скоростью v (рис. 38).

Рис. 38

Тогда координаты и время события в системе К' будут выражаться через координаты и время в К с помощью преобразований Галилея (для случая систем координат с параллельными осями, с осями x' и x, направленными вдоль v и отсчетом времени от момента полного совмещения осей):

x' = x – v t, y' = y, z' = z, t' = t.

Преобразования Галилея основаны на утверждениях о независимости хода времени и длины отрезков от системы отсчета, которые считались неотъемлемыми свойствами пространства и времени. Уравнение движения инвариантно (имеет одинаковый вид в разных системах отсчета) относительно преобразований Галилея. Теория относительности показывает, что преобразования Галилея верны только при v << c и их заменяют преобразования Лоренца, верные при любых скоростях v < c.

При таком же выборе осей координат и отсчета времени, как в преобразованиях Галилея, преобразования Лоренца имеют вид:

x' = γ (x – v t), y' = y, z' = z, t' = γ ( t –  x),

где величина γ определяется из равенства γ = , γ ≥ 1.

Преобразования Лоренца для разности координат и времен двух событий имеют вид:

∆x' = γ (∆x – v ∆t), ∆y' = ∆y, ∆z' = ∆z, ∆t' = γ (∆t –  ∆x).

Обратные преобразования из К' в К получаются при замене v на ( – v):

∆x = γ (∆x' + v ∆t'), ∆y = ∆y', ∆z = ∆z', ∆t = γ (∆t' +  ∆x').

Длина тела в разных системах. Длина движущегося тела определяется как расстояние между точками, где концы отрезка, длина которого равна продольному размеру тела, находились одновременно (то есть ∆t = 0). Предположим, что с телом, движущимся поступательно в системе К в направлении оси х со скоростью v, связана система координат К' (т.е. V = v) (рис. 39).

Р ис. 39

Собственный продольный размер тела L , измеренный в системе К', в которой тело неподвижно, равен

L ₀ = x₂' – x₁'.

В системе К продольные размеры тела определяются аналогичным образом и равны

L = x₂ – x₁.

Из преобразований Лоренца, в которых надо учесть, что v это одновременно скорость тела и системы К' относительно К и, что для мгновенного определения длины t₁ = t₂ (то есть ∆t = 0), получим

L ₀ = x₂' – x₁' = γ(x₂ – v t₂) - γ(x₁ – v t₁) = γ(x₂ – x₁ - v t₂ + v t₁) = =γ(x₂ – x₁) = γ L.

Откуда следует вывод: продольные размеры тела движущегося со скоростью v → c сокращаются:

L = .

Поперечные размеры движущегося тела не изменяются.

Относительность хода времени. Из преобразований Лоренца видно, что время протекает по-разному в разных ИСО. В частности, события, происходящие в системе К одновременно (∆t = 0), но в разных точках пространства, в К' могут быть не одновременными: ∆t' = - может быть как положительным, так и отрицательным (относительность одновременности). Часы, движущиеся вместе с системой отсчета (то есть неподвижные относительно К', или ∆x' = 0), показывают собственное время этой ИСО. С точки зрения наблюдателя в системе К, эти часы отстают от его собственных (замедление хода времени). Рассматривая два отсчета движущихся часов как два события, получим:

∆t = γ (∆t' +  ∆x') = γ ∆t'.

Равноправие всех ИСО проявляется в том, что с точки зрения наблюдателя К' часы, неподвижные относительно К, будут отставать от его собственных.

Сложение скоростей в СТО. Если частица движется со скоростью v' относительно ИСО К', то ее скорость относительно К можно найти, выразив dx, dy, dz, dt из формул:

∆x = γ (∆x' + v∆t'), ∆y = ∆y', ∆z = ∆z', ∆t = γ (∆t' +  ∆x'),

подставив в формулы для скоростей v = , v = , v = . Откуда получаются следующие соотношения:

v , v , v .

При v << c и V << c происходит переход к нерелятивистскому закону сложения скоростей. Если V и v меньше c, то и скорость тела v относительно К будет меньше c. Скорость света c является максимально возможной скоростью передачи взаимодействий в природе.

Интервал. Преобразования Лоренца не сохраняют ни величину интервала времени, ни длину пространственного отрезка. В обычном пространстве расстояние ∆L между двумя точками определяется выражением (∆L)² = (∆x)² + (∆y)² + (∆z)² и является инвариантом, то есть не зависит от выбора системы координат. В четырехмерном пространстве-времени аналогичное выражение для расстояния между двумя точками s = (c ∆t)²+(∆x)²+(∆y)²+(∆z)² при переходе к другой ИСО изменяет свое числовое значение, однако, при преобразованиях Лоренца сохраняется величина

s = (c ∆t)² - (∆x)² - (∆y)² - (∆z)² = (c ∆t)² - (∆ r)²,

где s₁₂ называется интервалом между событиями 1 и 2 (∆t = t₂ – t₁, ∆ r = r₂ – r₁). Если s > 0, то интервал между событиями называют временеподобным, так как в этом случае существует ИСО, в которой ∆ r = 0, то есть события происходят в одном месте, но в разное время. Если s < 0, то интервал между событиями называют пространственноподобным, так как в этом случае существует ИСО, в которой ∆t = 0, то есть события происходят одновременно в разных точках пространства. Убедимся в инвариантности интервала. В системе К имеем s = (c ∆t)² - (∆x)² - (∆y)² - (∆z)². В системе К' для тех же событий s' = (c ∆t')² - (∆x')² - (∆y')² - (∆z')². Подстановка ∆x' = γ (∆x –V∆t), ∆y' = ∆y, ∆z' = ∆z, ∆t' = γ (∆t –  ∆x) в выражение для s' приводит к равенству s' = s , что доказывает инвариантность интервала.

Лоренцевы четырехмерные векторы (4-векторы). Величина (A , A , A , A ) = (A, A ), которая при переходе из системы К в систему К’ преобразуется так же, как (x, y, z, c t), то есть:

A ' = γ (A –  A ), A ' = A , A ' = A , A ' =

=γ (A –  A ),

называется лоренцевым четырехмерным вектором. Величины A , A , A – пространственные компоненты 4-вектора, а A - его временная компонента. Сумма двух 4-векторов и произведение 4-вектора на число – тоже 4-вектор. При изменении ИСО сохраняется величина, аналогичная интервалу:

A² = A ² - (A)²,

а также скалярное произведение (A В - A В). Физическое равенство, записанное в виде равенства двух 4-векторов, остается верным во всех ИСО.

Импульс и энергия в СТО. Релятивистский 4-вектор импульса определяют как

p = m = γ  m , p = m  d( ) = γ m c,

где d = γ  dt – бесконечно малое изменение собственного времени частицы (измеренное в ИСО), скорость которой равна скорости частицы в данный момент. Пространственные компоненты 4-вектора образуют релятивистский импульс p = γ m v, а временная компонента p = , где Е – релятивистская энергия частицы: Е = γ m c², поэтому 4-вектор (р ) называют 4-вектором энергии-импульса. Релятивистские энергия и импульс связаны соотношением: p = . При переходе в другую ИСО энергия и импульс преобразуются по закону:

p ' = γ  (p – ), p ' = p , p ' = p , E' = γ (E –V p ). Релятивистская энергия частицы не равна нулю при v = 0, тоесть она состоит из энергии покоя mc² и кинетической энергии:

Е = γ m c² = m c² + Ек,

причем релятивистская кинетическая энергия при << 1 переходит в классическую кинетическую энергию. Так как величина - p² сохраняется, ее можно вычислить в системе отсчета, где частица в данный момент покоится:

- p² = m²  c² или E² - p²  c² = m² c .

Для частиц с массой, равной нулю (фотонов), связь между энергией и импульсом принимает вид:

Е = р c.

Между импульсом и кинетической энергией возможно соотношение:

p² c² = Е _к (Е _к + 2 m c²).

Законы сохранения, как и другие законы природы, должны соблюдаться во всех ИСО, то есть быть инвариантными по отношению к преобразованиям Лоренца. Запишем законы сохранения релятивистской энергии и релятивистского импульса для абсолютно неупругого удара двух тел массой m каждое, двигавшихся навстречу друг другу с одинаковой скоростью v.

Закон сохранения энергии будет иметь вид 2 γ m c² = М c², а закон сохранения импульса записывается как 2 γ ² m v = γ М v, где масса составной частицы после соударения М равна 2 γ m. Видно, что масса М больше суммы начальных масс частиц. Увеличение внутренней энергии при неупругом ударе на ∆ Е приводит к увеличению массы составной частицы на .

Рассмотрим задачи специальной теории относительности.

Пример 1. Рассмотреть изменение продольных размеров квадрата, движущегося со скоростью v = 0,8 c вдоль одной из своих сторон.

Решение: При движении со скоростью, близкой к скорости света c продольные размеры квадрата будут изменяться так, что он превращается в прямоугольник. Форму прямоугольника можно оценить по углу между его диагоналями arcctg 59 .

Пример 2. Пусть энергия покоящегося тела равна Е. Найдите импульс этого тела в системе отсчета, движущегося со скоростью v.

Решение: В соответствии с формулами релятивистского преобразования импульс равен . Видно, что получилась формула для релятивистского импульса с массой m = .

3. МНОГОВАРИАТИВНЫЕ ЗАДАНИЯ С ПРИМЕРАМИ РЕШЕНИЙ

3.1. Кинематика и динамика

поступательного движения

ЗАДАНИЕ №1

Кинематические уравнения движения двух материальных точек имеют вид x₁= A₁+ B₁t+C₁t² и x₂= A₂+ B₂t+C₂t². Определите: 1) момент времени, для которого скорости этих точек будут равны; 2)ускорения а₁ и а₂ для этого момента.

Данные для разных вариантов:

Вар.	A1, м	A2, м	B1, м/с	B2, м/с	C1, м/с2	C2, м/с2
1	3	4	2	2	-2	1
2	3	2	3	3	1	2
3	5	3	2	3	4	3
4	5	4	3	4	5	1
5	4	2,5	2,5	2,5	1	3
6	3	1,8	2	4	2	-3
7	3	4	3	1	1,8	1,5
8	2	2	2	5	-1,5	-2
9	2	2,5	3	1,5	2	0,5
10	3	3	3,5	2,5	-3	2
11	8	3	4	2	2	-1
12	7	6	2	3,5	5	4
13	6	4	1,8	3	4	-1,5
14	5	7	1	4	3	2
15	4	8	2	3	-1	3
16	2	9	3	1,6	5	1
17	5	7	4	2	1,4	4
18	4	3	5	2	2	1,5
19	3	4	2	4	3	3
20	2	5	4	5	1	1