- •Кратные интегралы. Векторный анализ
- •Введение
- •1.2. Вычисление двойного интеграла в декартовых прямоугольниках. Изменение порядка интегрирования
- •1.3. Вычисление двойного интеграла в полярных координатах
- •1.4. Применение двойных интегралов для вычисления площадей и объемов
- •2. Тройные интегралы
- •2.1. Тройной интеграл. Геометрический и физический смысл тройного интеграла
- •2.2. Замена переменных в кратных интегралах
- •2.3. Тройной интеграл в цилиндрических и сферических координатах
- •2.4. Применение кратных интегралов в задачах механики и физики
- •3. Криволинейные интегралы
- •3.1. Криволинейный интеграл первого рода
- •3.2. Криволинейный интеграл первого рода, его физический смысл и механические приложения
- •3.3. Условия независимости криволинейного интеграла от пути интегрирования
- •3.4. Формула Грина. Вычисление площадей с помощью криволинейного интеграла второго рода
- •4. Поверхностные интегралы
- •4.1. Поверхностные интегралы первого рода
- •4.2. Поверхностные интегралы второго рода
- •4.3. Формула Остроградского
- •4.4. Формула Стокса
- •5. Теория поля
- •5.1. Скалярные поля
- •5.2. Векторные поля
- •5.3. Поток векторного поля. Дивергенция
- •5.4. Циркуляция векторного поля
- •5.5. Ротор векторного поля
- •6. Оператор Гамильтона
- •Заключение
- •Оглавление
- •5.5. Ротор векторного поля………….………………………156
- •6. ОПератор Гамильтона………….……………………160
- •3 94026 Воронеж, Московский просп.,14
2.4. Применение кратных интегралов в задачах механики и физики
Приложения двойных интегралов
Рассмотрим на плоскости XOY материальную пластинку, т.е. некоторую область D, по которой распределена масса с плотностью (x, y), где (x, y) – непрерывная функция. Тогда, как мы уже знаем, масса на всей плоскости определяется по формуле
m = . (2.21)
Известно, что момент инерции системы материальных точек М1, М2,… Mn с массами m1, m2, …mn, относительно некоторой точки О есть сумма моментов инерции отдельных точек системы J = ,где r2 – расстояние от точки до точки О.
Пусть фигура D расположена в плоскости XOY. Тогда можно доказать, что момент инерции этой фигуры относительно начала координат J0, в предположении что поверхностная плотность равна (x, y), вычисляется по формуле
J0 = , (2.22)
а интегралы
Jx = ; (2.23)
Jy = (2.24)
называются соответственно моментами инерции фигуры D относительно осей OX и OY, т.е. J0 = Jx + Jy .
Известно, что координаты центра масс системы материальных точек М1, М2,… Mn с массами m1, m2, …mn определяются по формулам
xc = ; yc = .
Учитывая эти формулы, можно доказать, что коэффициенты центра масс плоской фигуры D, имеющей поверхностную плоскость (x, y), вычисляются по формулам
xc = = ; yc = = , (2.25)
где выражение
My = , Mx = (2.26)
называются статическими моментами плоской фигуры D относительно осей OY и OX.
Задача 2.12. Найти координаты центра масс однородной пластины, ограниченной параболой y = 4 – x2 и осью ОХ
(рис. 2.10).
Решение. Так как фигура симметрична относительно оси OY, то без вычислений ясно, что xc = 0. Ординату yc посчитаем по формуле (1.60), т.к. пластинка однородна, то
(x, y) = сonst, поэтому yc = = ,
где SD = - площадь области D.
Получим
SD = = = 32/3,Mx = = =
= = = = .
y
-2
2 x
Рис.
2.10
Следовательно , yc = 8/5.
Итак, координаты центра масс равны: xc = 0, yc =8/5.
Приложения тройных интегралов
Как было показано ранее, объем V пространственного тела Т вычисляется по формулам V= dydz - в прямоугольных координатах;
V = drdd - в цилиндрических координатах;
V = φdrdd - в сферических координатах.
Если дано некоторое тело Т с объемной плотностью (M) = (x, y, z), представляющей собой непрерывную функцию, то масса m этого тела вычисляется по формуле
m = .
Координаты центра масс xc, yc, zc некоторого пространственного тела, имеющего объемную плотность (M) = (x, y, z) выражаются формулами
xc = , yc = ,
zc = .
В частности, если рассматриваемое тело однородно, т.е. (M) = const, тогда выражение для координат центра масс принимает более простой вид
xc = , yc = , zc = ,
где V – объем данного тела Т.
Моменты инерции пространственного тела с объемной плотностью
(M) = (x, y, z) относительно координатных осей определяется по формулам
Jx = , Jy = , Jz = .
Для момента инерции относительно начала координат формула имеет вид
J0 = .
Момент инерции относительно координатных плоскостей вычисляются по формулам
Jxy = , Jyz = ,
Jxz = .
Статические моменты относительно координатных плоскостей равны
Mxy = , Myz = ,
Mxz = .
б) Вычисление массы тела
Если дано некоторое тело с объемной плотностью (х, у, z), представляющий собой непрерывную функцию, то масса m этого тела, равна тройному интегралу от функции плотности (х, у, z), распространенному на объем V, занимаемый этим телом:
. (2.27)
Задача 2.13. Вычислить массу тела, ограниченного сферой х2+у2+z2 = 4 и параболоидом х2+у2 = 3z, если плотность в каждой точке тела равна аппликате точки (т.е. = z)
Решение.
В этой задаче удобно перейти к цилиндрическим координатам, так как в уравнении параболоида содержится сумма х2+у2, а в цилиндрических координатах х2+у2 = r2.
Запишем уравнения поверхностей, ограничивающих тело, в цилиндрических координатах.
Уравнение сферы примет вид: r2+z2 = 4; r2 =4–z2.
Уравнение параболоида: r2 = 3z.
Из этих уравнений следует, что на параболоиде: z=r2/3, а на сфере .
Спроектируем это тело на плоскость ХОУ. Проекцией будет круг. Найдем радиус этого круга. Для этого определим, при каком значении z пересекаются поверхности, т.е. определим z из системы:
;
Получим z2 + 3z – 4 = 0; z1 = 1; z2 = – 4.
Смыслу задачи удовлетворяет только z = 1.
Подставим это значение в любое из уравнений системы, получим r2 = 3, .
Итак, радиус круга, в который проектировалось тело равен ; переменные r,, z в теле изменяются в пределах:
0 r , 0 2 , .
Масса тела вычисляется по формуле (2.27), в которой элемент объема .
Таким образом,
.
Ответ: .
Задача 2.14. Вычислить массу тела, ограниченного сферой х2+у2+z2 = 4 и параболоидом х2+у2 = 3z, если плотность в каждой точке тела равна аппликате точки (т.е. = z)
Решение.
В этой задаче удобно перейти к цилиндрическим координатам, так как в уравнении параболоида содержится сумма х2+у2, а в цилиндрических координатах х2+у2 = r2.
Запишем уравнения поверхностей, ограничивающих тело, в цилиндрических координатах.
Уравнение сферы примет вид:
r2 + z2 = 4; r2 = 4 – z2.
Уравнение параболоида: r2 = 3z.
Из этих уравнений следует, что на параболоиде: z=r2/3, а на сфере .
Спроектируем это тело на плоскость ХОУ. Проекцией будет круг. Найдем радиус этого круга. Для этого определим, при каком значении z пересекаются поверхности, т.е. определим z из системы:
;
Получим z2 + 3z – 4 = 0; z1 = 1; z2 = – 4.
Смыслу задачи удовлетворяет только z = 1.
Подставим это значение в любое из уравнений системы, получим r2 = 3, .
Итак, радиус круга, в который проектировалось тело равен ; переменные r,, z в теле изменяются в пределах:
0 r , 0 2 , .
Масса тела вычисляется по формуле (2.27), в которой элемент объема .
Таким образом,
.
Ответ: .
Задача 2.15. Определить момент инерции относительно оси OZ однородной пирамиды Т с плотностью, ограниченной плотностями x = 0, y = 0, x+ y+ z= 1 (рис. 2.11).
Рис.
2.11
Рис.
1.24
Решение. Согласно формуле
Jz= =3 = =3 =3 .
Задачи для самостоятельного решения
Задача 2.16. Найти координаты центра тяжести однородных пластин, ограниченных кривыми
Задача 2.17. Вычислить массу тела, ограниченного сферой х2+у2+z2= 1, если в каждой точке тела плотность равна квадрату ее расстояния от начала координат.
Указание. Квадрат расстояния точки от начала координат равен сумме: х2+у2+z2, координат этой точки, поэтому
(х, у, z) = х2+у2+z2; и масса тела равна:
,
так как тело ограничено сферой, то удобно перейти к сферическим координатам, по формулам (2.19), (2.20).
Получим,
,
где 0 1, 0 2, 0 2 .
Ответ: .
Задача 2.18. Вычислить массу пирамиды, ограниченной плоскостями х + у + z = 1, х = 0, у = 0, z = 0, если плотность ее в текущей точке тела М(х, у, z) равна = хуz.
Ответ: .
Задача 2.19. Найти массу однородного тела (плотность в каждой его точке = const), ограниченного поверхностями
а) z = 2–x–y, а2+у2= 1, х = 0, у = 0, z = 0.
б) ; х2+у2= 2х, z = 0.
Ответ: а) , б) .
Задача 2.20. Найти моменты инерции относительно осей Ox и Oy фигур, ограниченных кривыми, заданными уравнениями: а) 2x + y=1, 3x + y = 1, y = 0;
b) xy = 1, xy = 2, x = 2y, 2x = y (x > 0, y> 0 ).
Задача 2.21. Найти координаты центра тяжести однородных пластин, ограниченных кривыми
y2 = 4x+ 4, y2 = -2x+ 4; y = x2, x + y=3, y = 0;
Задача 2.22. Найти координаты центра тяжести однородных тел, ограниченных поверхностями:
a) x2 + y2 = z2/4 , z=2; b) z = x2 + y2 , x + y = 1, x = 0, y = 0, z=0;
с) x2/4 + y2/9 + z2 = 1, x = 0, y = 0, z = 0.