Свойства логарифмов

1º. Логарифм основания равен единице:

2º. Логарифм единицы равен нулю:

3º. Основное логарифмическое тождество:

4º.Формула для логарифма произведения:

5º. Формула для логарифма частного:

6º. Формула для логарифма степени: .

7º.

8º. Формула перехода к новому основанию:

9º.

1.3. Тождественные преобразования показательных и логарифмических выражений

Пример 1. Вычислить: .

Используя свойства степеней и логарифмов, получим

Пример 2. Вычислить: .

Используя свойства логарифмов (3, 9), получим

Пример 3. Вычислить если

Используя свойства логарифмов, получим

Пусть тогда Далее имеем

По условию тогда получим уравнение

тогда

Часто приходится прологарифмировать обе части данного выражения или, напротив, потенцировать. Логарифмирование – это такое преобразование, при котором логарифм выражения с переменными приводится к сумме или разности логарифмов переменных. Потенцирование – это действие, обратное логарифмированию.

Пример 4. Дано Найти

Логарифмируя обе части равенства, получим

Пример 5. Найти по данному его логарифму:

Потенцируя обе части равенства, получим

Задачи для самостоятельного решения

Вычислить:

1. ; 2) ; 3) ; 4) ;

5) 6)

7) 8)

9) 10)

11) 12)

13) 14)

15) 16)

17) 18)

19) 20)

21) 22)

23) 24)

25) 26)

27)

28) 29)

30)

1.4. Показательные уравнения

Уравнение, содержащее переменную в показателе степени, называется показательным.

Решение показательных уравнений часто сводится к решению уравнения вида где

_{Основные приёмы решения показательных уравнений разберём на следующих примерах.}

Пример 1. Решить уравнение

Используя свойства степеней, приведем левую и правую части уравнения к одному основанию:

_{откуда Поскольку функция монотонна и каждое свое значение принимает ровно один раз, то последнее уравнение равносильно уравнению из которого находим}

Пример 2. Решить уравнение

Вынесем за скобку – степень с наименьшим показателем:

откуда или

Пример 3. Решить уравнение

В левой части уравнения вынесем за скобку , а в правой части вынесем за скобки

Поделим обе части последнего уравнения на , получим

или откуда, логарифмируя обе части уравнения по основанию (можно по любому положительному основанию), получим

Пример 4. Решить уравнение

Используя свойства степеней, преобразуем исходное уравнение к виду

_{Полученное уравнение удобнее всего решать, введя новую переменную Тогда уравнение сводится к квадратному относительно новой переменной :}

решая которое, находим Корень не удовлетворяет условию _{, поэтому единственное решение исходного уравнения определяется из соотношения}

Пример 5. Решить уравнение

Запишем исходное уравнение в виде

Это однородное уравнение второй степени. Разделим обе части уравнения на , получим

_{Введем новую переменную придем к квадратному уравнению}

решив которое, найдем Второй корень не удовлетворяет условию _{Возвращаемся к исходной переменной, получаем уравнение откуда}

Пример 6. Решить уравнение

Числа и являются взаимно обратными:

Введем новую переменную Тогда исходное уравнение примет вид или Корни последнего уравнения равны откуда

Пример 7. Решить уравнение

Прологарифмируем данное уравнение по основанию 5 (или 2). Следует заметить, что можно, вообще говоря, логарифмировать по любому основанию, но не совсем удачный выбор основания может привести к громоздким вычислениям.

Имеем или

Пример 8. Решить уравнение

Легко заметить, что является корнем данного уравнения. Докажем, что других корней данное уравнение не имеет. Для этого разделим левую и правую части уравнения на . Получим

Функция, стоящая в левой части последнего уравнения, монотонно убывающая (основание степени меньше единицы), а функция, стоящая в правой его части, монотонно возрастает. Поэтому уравнение не может иметь более одного решения. Таким образом, единственное решение.

Пример 9. Решить уравнение

Возможны случаи: 1) т.е. тогда получим

верное равенство, значит, – корень данного уравнения;

2. т.е. тогда уравнение примет вид

Этому уравнению могут удовлетворять только те значения , при которых и целые числа (так как число можно возводить лишь в целую степень) одинаковой четности, т.е. либо оба четные, либо оба нечетные.

При имеем верно, значит, – корень данного уравнения.

3. откуда В этом случае исходное уравнение имеет вид

_{и так как выражение имеет смысл лишь при , то значение не подходит, а следовательно не является корнем данного уравнения.}

4. то из данного уравнения имеем откуда

При получим верное равенство. Значит – корень исходного уравнения. При получим верное равенство, значит – корень уравнения.

Итак данное уравнение имеет 3 корня:

Пример 10. Решить уравнение

Данное уравнение равносильно совокупности

Из первого уравнения получаем Из системы находим

Т.е.