- •Механические колебания. Упругие волны методические указания
- •Предисловие
- •Механические колебания
- •1.1. Гармонические колебания
- •1.2. Энергия гармонического колебания
- •1.3. Маятники
- •1.4. Сложение колебаний одного направления
- •1.5. Сложение взаимно перпендикулярных колебаний
- •1.6. Затухающие колебания
- •Основные характеристики затухающих колебаний:
- •1.7. Вынужденные колебания. Резонанс
- •1.8. Примеры
- •1.9. Задачи
- •2. Упругие волны
- •2.1. Основные понятия. Уравнение волны
- •2.2. Скорость волны в твердых телах
- •2.3. Скорость звука в жидкостях и газах
- •2.4. Энергия упругой волны
- •Отражение и прохождение упругих волн на границе раздела двух сред
- •Стоячие волны
- •2.7. Колебания струны
- •2.8. Акустический эффект Доплера
- •2.9. Примеры
- •2.10. Задачи
- •Библиографический список
- •Содержание
- •Механические колебания. Упругие волны методические указания
- •394026 Воронеж, Московский просп., 14
2.2. Скорость волны в твердых телах
При распространении упругих волн происходит деформация среды. При продольных волнах - деформация растяжения и сжатия, при поперечных – сдвига. Если деформировать (сжать, растянуть или сдвинуть относительно друг друга) крайние точки тела, то эта деформация будет распространяться в теле с некоторой скоростью . Для вычисления величины рассмотрим простейший случай передачи деформации через упругий стержень.
Пусть в течение короткого промежутка времени t ударом молотка мы сообщим этому стержню некоторый импульс. За это время точки торца стержня сместятся на некоторое расстояние l. Возникшая деформация будет перемещаться от точки к точке, и по стержню побежит волна сжатия. К концу промежутка времени t все частицы участка стержня длины l, вовлеченного в колебательный процесс, будут двигаться со скоростью υ = l/t вправо. Поскольку в начале этого промежутка частицы были неподвижны, то приращение количества движения стержня будет равно mu – 0, где m – масса участка l. Обозначив площадь поперечного сечения стержня через S, а плотность материала стержня через , мы получим dm = Sl. По второму закону Ньютона приращение количества движения равно импульсу внешней силы F, действовавшей при ударе на стержень, т.е.
Ft = Sl. С другой стороны, по закону Гука имеем F = ESΔl/l, где Е – модуль Юнга. Исключив из этих уравнений силу F, сначала получим , а затем . Отсюда скорость распространения волны сжатия (продольной волны) в упругом стержне равна
. (51)
Подобные расчеты скорости поперечных волн дают
. (52)
где G – модуль сдвига среды.
Выражение называется волновым сопротивлением или импедансом среды.
2.3. Скорость звука в жидкостях и газах
Без доказательства согласимся с тем, что скорость упругих волн в жидкостях и газах равна
с = , (53)
где К – модуль объемной упругости, - плотность невозмущенной среды. Модуль объемной упругости для определенной жидкости или реального газа находится экспериментально. Для идеального газа K = p, где p – давление невозмущенного газа, – показатель адиабаты. Этот результат легко получить, если процесс объемной деформации жидкости или газа при распространении в них звуковых волн считать адиабатным. Уравнение адиабаты для идеального газа имеет вид
, (54)
где V – объём газа; – показатель адиабаты, равный отношению теплоёмкостей газа Ср/Сv: Ср – теплоёмкость газа при постоянном давлении, Сv – при постоянном объёме. Возьмём дифференциалы от обеих частей равенства (54)
Отсюда получим или в конечных разностях
(55)
Здесь (- ) представляет собой силу объёмной упругости газа, действующей на единицу площади поверхности сосуда и по сути аналогична нормальному напряжению ; величина приобретает смысл относительной всесторонней деформации.
На основании этих замечаний равенство (55) принимает форму закона Гука
где K = p
Если учесть, что плотность идеального газа равна
где М – молярная масса, R – газовая постоянная и T – абсолютная температура, то для скорости звука в идеальном газе получим
(56)
При нормальных условиях (p = 105 Па, Т = 300 К) атмосферный воздух по своим свойствам подобен идеальному газу. Отсюда получим оценку скорости звука в воздухе, для которого
; .
Для воды , = 103 кг/м3 скорость звука
.