12. Методика вычисления теоретических частот нормального распределения

Как было сказано выше, сущность критерия согласия Пирсона состоит в сравнении эмпирических и теоретических частот. Эмпирические частоты находят из опыта. Возникает вопрос о том, как найти теоретические частоты, если предполагается, что генеральная совокупность распределена нормально? Приведем один из способов решения этой задачи.

1. Весь интервал наблюдаемых значений X (выборки объема n) делят на s частичных интервалов одинаковой длины. Находят середины частичных интервалов ; в качестве частоты варианты принимают число вариант, которые попали в i-й интервал. В итоге получают последовательность равноотстоящих вариант и соответствующих им частот:

…

… .

При этом .

2. Вычисляют выборочную среднюю и выборочное среднее квадратическое отклонение , например, методом произведений.

3. Нормируют случайную величину X, то есть переходят к величине и вычисляют концы интервалов :

, ,

причем наименьшее значение Z, то есть полагают равным , а наибольшее, то есть , полагают равным .

4. Вычисляют теоретические вероятности попадания в интервалы по равенству ( - функция Лапласа) и находят искомые теоретические частоты .

Пример. Найти теоретические частоты по заданному интервальному распределению выборки объема , предполагая, что генеральная совокупность распределена нормально.

Решение.

1. Найдем середины интервалов . Получим последовательность равноотстоящих вариант и соответствующих им частот :

5 7 9 11 13 15 17 19 21

15 26 25 30 26 21 24 20 13

2. Пользуясь методом произведений, найдем выборочную среднюю и выборочное среднее квадратическое отклонение:

, .

3. Найдем интервалы , учитывая, что , , 1/ , составив расчетную таблицу 12.

4. Найдем теоретические вероятности и искомые теоретические частоты для чего составим расчетные таблицы 13,14.

Таблица 12

Номер интервала	Границы интервала		Частота	Номер интервала	Границы интервала		Частота
i				i
1 2 3 4 5	4 6 8 10 12	6 8 10 12 14	15 26 25 30 26	6 7 8 9	14 16 18 20	16 18 20 22	21 24 20 13

Таблица 13

i	Границы интервала				Границы интервала
1 2 3 4 5 6 7 8 9	4 6 8 10 12 14 16 18 20	6 8 10 12 14 16 18 20 22	- -6,63 -4,63 -2,63 -0,63 1,37 3,37 5,37 7,37	-6,63 -4,63 -2,63 -0,63 1,37 3,37 5,37 7,37 -	- -1,41 -0,99 -0,156 -0,13 0,29 0,72 1,14 1,57	-1,41 -0,99 -0,56 -0,13 0,29 0,72 1,14 1,57

Таблица 14

i	Границы интервала				= - -		=200
1 2 3 4 5 6 7 8 9	- -1,41 -0,99 -0,56 -0,13 0,29 0,72 1,14 1,57	-1,41 -0,99 -0,56 -0,13 0,29 0,72 1,14 1,57	-0,5 -0,4207 -0,3389 -0,2123 -0,0517 0,1141 0,2642 0,3729 0,4418	-0,4207 -0,3389 -0,2123 -0,0517 0,1141 0,2642 0,3729 0,4418 0,5	0,0793 0,0818 0,1266 0,1606 0,1658 0,1501 1,1087 0,0689 0,0582	15,86 16,36 25,32 32,12 33,16 30,02 21,74 13,78 11,64

Искомые теоретические частоты помещены в последнем столбце таблицы 7.