Тема 2. Спектральные преобразования

Многие разновидности цифрового сжатия видеосигналов основаны на использовании того факта, что большие уровни сигналов не встречаются одновременно на всех частотах. При сжатии звуковых сигналов необходимо выполнить частотный анализ входного сигнала, чтобы разработать модель эффекта маскирования. Обычно для решения таких задач используются спектральные преобразования. Эти преобразования применяются также в методе фазовой корреляции при измерении движения.

Тема 3. Преобразование Фурье

Преобразование Фурье — это метод обработки, используемый для анализа изменений сигнала во времени и выражения их в виде спектра. Любой сигнал можно разложить на частотные составляющие. Если известны частота и фаза каждой частотной составляющей, линейное сложение результирующих составляющих позволяет получить исходный сигнал. Эта операция называется обратным спектральным преобразованием. В цифровых системах сигнал представляется в виде ряда дискретных отсчетов. Результатом преобразования Фурье этого сигнала является такое же число дискретных частот. Эта операция называется дискретным преобразованием Фурье, или ДПФ. Быстрое преобразование Фурье (БПФ) — это лишь эффективный способ вычисления ДПФ. Знание фазы частотной составляющей принципиально важно, поскольку изменение фазы любой составляющих приведет к значительному изменению формы восстанавливающего сигнала. Таким образом, ДПФ должно производится с фаз составляющих сигнала. Существует несколько способов выравнивания фазы. Преобразование Фурье производит спектральный анализ посредством независимого вычисления каждой дискретной частоты анализа. Это осуществляется благодаря умножению входного сигнала на синусоиду с частотой анализа и суммированию (интегрированию) произведений. Умножение на частоту анализа дает большой интеграл, если входной сигнал имеет ту же частоту; однако при отличающейся входной частоте (на самом деле, при всех других входных частотах) интеграл равен нулю , что указывает на отсутствие составляющей с частотой анализа. Таким образом, в реальном .сигнале, содержащем множество частот, подавляются все частоты, за исключением частоты анализа. Частота анализа не будет обнаружена, если ее фаза сдвинута на 90", поскольку произведение квадратурных сигналов всегда равно нулю. Поэтому преобразование Фурье должно продолжить поиск частоты анализа с использованием косинусоиды. Указанный подход позволяет реализовать ДПФ, однако требуется большой объем интенсивных вычислений. Большой объем вычислений многократно повторяется применительно к каждой операции поиска. Задача БПФ — получить тот же результат с меньшим объемом вычислений, для чего логически группируются все случаи, когда требуется применить вычисление. Каждое такое вычисление выполняется только один раз. Объем вычислений можно уменьшить, если совместить поиски синусной „косинусной составляющих. Другой источник экономии — учет того, что каждые 180° синусоида или косинусоида имеет одинаковое абсолютное значение, но разный знак. Вместо выполнения четырех перемножений с использованием двух отсчетов, разделенных интервалом 180°, и сложением пар произведений экономичнее вычесть значения отсчетов и выполнить два перемножения — одно на значение синусоиды, другое на значение косинусоиды. В результате БПФ определяются синусная и косинусная составляющие для каждой частоты. Применительно к задачам фазовой корреляций требуется перейти на альтернативные средства представления, то есть пользоваться фазой и амплитудой. Число частотных коэффициентов, получаемых в результате ДПФ, равно числу входных отсчетов. Большее число входных отсчетов соответствует большей области экрана в видеосистеме или более значительному временному интервалу в звуковой системе, но при этом спектр сигнала определяется более подробно. Таким образом, спектральные преобразования обладают следующим фундаментальным свойством: чем точнее анализируются частота и фаза сигнала, тем менее точно известно, в каком месте исходного сигнала присутствуют эти частоты.