Добавил:

LexaZbs Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Пермский национальный исследовательский политехнический университет

Предмет:

Диагностика и надежность автоматизированных систем

Файл:

fd02aed

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

23.04.2022

Размер:

4.96 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1314 / 4914 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 > Следующая >>>

Можно считать допустимым и оправданным применение экспоненциального закона для расчета нерезервированных систем с высокими требованиями к безотказности элементов для любой модели отказов (внезапных и постепенных), но он лишает возможности правильно прогнозировать поведение изделия при повышении его ресурса, делать правильные выводы о мероприятиях по повышению надежности системы.

Применение экспоненциального закона допустимо и оправдано при анализе и расчете надежности систем, уже обладающих высокой безотказностью, но его нельзя применять для случаев прогнозирования поведения этих систем при повышении ресурса и для оценки их надежности в пределах, выходящих за значение принятого ресурса.

Пример 2.12. Определить для трансформатора с высшим напряжением 10 кВ следующие показатели надежности для момента времени 6 месяцев: а) вероятность безотказной работы; б) вероятность отказа; в) частоту отказов; г) среднюю наработку на отказ. Интенсивность отказов трансформатора λ= 0,035 год –1 (см. табл. 2.4).

Решение: Р(0,5) = ехр (– 0,035·0,5) = 0,9827;

Q(0,5) = 1 – ехр (– 0,035·0,5) = 0,0173;

а(0,5) = λР(0,5) = 0,035·0,9827 = 0,03439;

Т0 = 1/0,035 = 28,6 года.

Результаты расчетов показателей надежности по упрощенным формулам:

Р(0,5) = 1 – 0,035·0,5 = 0,9825;

Q(0,5) = 0,035·0,5 = 0,0175;

а(0,5) = 0,035(1 – 0,035·0,5) = 0,03438.

131

Плотность нормального распределения имеет колоколообразную форму, симметричную относительно среднего значения. В данном случае функция распределения записывается как:

F(t)=		1	t			(t −T )2
			π ∫	exp	−	1	dt,	(2.41)
	σ	2	π ∫	exp	−	2σ2	dt,	(2.41)
		2	−∞
			−∞

P(t) = 1− F(t).

Этот интеграл не вычисляется в замкнутом виде, поэтому в прил. 1 приведена табл. П7 для этого распределения, и она может использоваться для нахождения вероятностей любого нормального распределения.

Плотность нормированного нормального распределения можно

представить как		exp (– и2 / 2), – ∞ < и < ∞,
ϕ(и)=	1	exp (– и2 / 2), – ∞ < и < ∞,	(2.42)
	2π

где u = (t −T1 )σ. Тогда функция нормированного нормального распределения имеет вид

F(u)=	1	u	(−u2	2) du.
		∫ exp			(2.43)
	2π −∞
Для случайной величины T, распределенной по нормальному
закону с математическим ожиданием T1 и средним квадратическим
отклонением σ, выражение			t −T
		t −T
P(t) = P u ≤		1	= Ф	1	(2.44)
		σ		σ

является необходимым соотношением для использования табл. П7. В случае нормального распределения интенсивность отказов

является монотонно возрастающей функцией времени t. Это легко

		′	для всех t. Поскольку
показать, доказав, что λ (t)≥ 0			для всех t. Поскольку
	f (t)			′		(1− F )f ′+ f 2
λ(t) = 1− F(t) , значит				λ	(t)=	(1− F )2	.	(2.45)

132

Вероятность безотказной работы и интенсивность отказов для некоторых нормальных распределений показаны на рис. 2.7 и 2.8 соответственно.

P(t)

1,0
1,0
0,75
0,75
0,50					1			2
0,50					1			2
0,25										t
										t

		0	0,5	1,0		1,5	2,0	2,5	3,0
		Рис. 2.7. Вероятность				безотказной		работы
при		нормальном		распределении наработки до отказа:
			1 – T1 = 1,0; σ = 0,2; 2 – T1 = 2,0; σ = 0,3
20	λ(t)
20
15
15
10				1				2
10

5										t
5


0			0,25	0,5	0,75		1,0	1,25	1,5
		Рис. 2.8. Интенсивность				безотказной работы
при		нормальном		распределении наработки до отказа:
			1 – T1 = 1,0; σ = 0,2; 2 – T1 = 2,0; σ = 0,3

Пример 2.13. Элемент имеет нормальное распределение наработки до отказа с параметром Т1 = 20000 циклов и σ = 2000 циклов. Найдите надежность элемента и интенсивность отказов при наработке, равной 19000 циклов.

133

Решение. Вероятность безотказной работы связана с нормированной случайной величиной u, распределенной по нормальному закону следующим соотношением:

	t −T
P(t) = P u >	1	,
P(t) = P u >	σ	,
	σ

тогда P (19000) = P u >

19000 − 20000

= P [u > −0,5]= Ф (0,5). Зна-

2000

чение функции

Ф(u)

находим

помощью табл. П7. Имеем

P(19000)=0,69146.

Значение

интенсивности

отказов

может быть найдено

с помощью соотношения

t −T

f (t)

u =

λ(t)=

P(t)

где f (u) определяется с помощью табл. П8. В данном случае

λ(19000)=

(− 0,50)

0,3521

= 0,000254 отказ/цикл.

σP(t)

2000 0,69146

Усеченным нормальным распределением случайной величины называется распределение, получаемое из нормального при ограничении интервала возможных значений этой величины. В интервале (t1, t2) плотность усеченного распределения

		(t)= C f (t),	(2.46)
f

где f (t), f (t) − плотности усеченного и неусеченного нормальных распределений:

f (t) =			1		(t −T )2
				exp −	1	.
				exp −	2 σt2	.
	σ	t	2 π		2 σt2
		t

С − нормирующий множитель, определяемый из условия единичной площади под кривой распределения

134

t2		(t)dt = 1,
C ∫ f
t1
откуда		1
C =			;	(2.47)
	t2
	∫ f (t) dt
	t1

T1 , σt − среднее значение и среднее квадратичное отклонение неусеченного распределения.

После подстановки в формулу (2.47) функции f (t) с учетом обозначения u = (t −T1 )σt , получим:

C =

, u

t1 −T1

t2 −T1

Φ (u2 )− Φ (u1 )

σt

(u)=

−

∫exp

d u .

Значения нормированной функции Лапласа Φ (u) приведены

в табл. П3.

Ниже приводятся основные показатели надежности для усеченного распределения, а именно:

• вероятность безотказной работы

t −T1

(2.48)

P (t)= C 0,5 − Φ

σt

;

• интенсивность отказов

(t − T )2

(t)

exp −

2 π

2 σt2

λ (t)=

(2.49)

P (t)

− T

0,5

− Φ

σt

135

Практически при оценке времени безотказной работы с помощью нормального распределения может иметь место частный случай, при котором средняя наработка до отказа Т1 значительно больше среднего квадратического отклонения, т. е. T1 >> σt . Приэтом

Φ (u2 )− Φ (u1 )≈ 1, C ≈ 1.

Тогда основные показатели надежности при нормальном законе распределения находятся по формулам:

				(t − T )2
	exp −					1
	exp −				2	σ2
					2	σ2
						t
λ (t)=									;
λ (t)=									;
2	π σ	t	0,5		− Φ		t − T1
2	π σ		0,5		− Φ

								σt

	t − T1	. (2.50)
	t − T1
P (t)= 0,5 − Φ	σt
	σt

Графики зависимостей λ (t),		f (t), P (t) при нормальном рас-
пределении наработки до отказа,		усеченном на интервале (0, ∞),
приведены на рис. 2.9.
λ (t)	λ (t)	P (t)
f (t)		1,0
f (t)
	f (t)

	0	T1	t	0	t
	Рис. 2.9. Зависимости λ (t),			f (t), P (t) при нормальном	(0, ∞)
	распределении наработки до отказа, усеченном на интервале
	Если способность объекта выполнять заданные функции харак-
теризуется параметром			Y с допустимыми пределами		изменения
(	1, 2 ), то вероятность безотказной работы объекта в течение вре-

мени t составляет:

136

P {		≤ Y (t )≤		; 0	≤ t							,
P {	1	≤ Y (t )≤	2	; 0	≤ t	≤ t}= Φ	2	− y	− Φ	1	− y	,
	1	1	2		1
							σy			σy

где	1, 2 − нижняя и верхняя границы поля допуска; y, σy −
среднее значение и среднее квадратическое отклонение параметра Y.
	При распределении времени возникновения отказов по лога-

рифмически нормальному закону плотность распределения имеет вид

f (t)=			1		(lnt −T	)2
				exp −	1		,	t ≥ 0 ,	(2.51)
			t 2π	exp −	2σн2		,	t ≥ 0 ,	(2.51)
	σ	н	t 2π		2σн2
		н
где Т1 и σн − параметры распределения,						−∞ < T1 < ∞ и σн > 0. Раз-

личные кривые плотности логарифмически нормального распределения показаны на рис. 2.10.

f(t)

Рис. 2.10. Плотность логарифмически нормального распределения наработки до отказа (σн = l):

1 – Т1 = 0; 2 – Т1 = 0,5

Если случайная величина X определяется как x = lnT, то X имеет нормальное распределение с математическим ожиданием T1 и средним квадратическим отклонением σн, т. е.

M	x	= M (lnT )=T ,	Д	x	= Д(lnT ) = σ2 .
	x	1		x	н

137

Поскольку t = ex, математическое ожидание логарифмически нормального распределения можно найти с помощью нормального распределения. Полагая, что

M (T )= M (ех )=

∞

х– Т1

∫

exp

х–

(2.52)

2π

−∞

и преобразуя экспоненту в (2.52), получаем

M (T )= exp

σ2

∞

[x − (T1

∫

exp −

dx .

2π

σн )]

−∞ σн

2σн

Математическое ожидание логарифмически нормального распределения имеет вид

σ2

M (T )= exp T1

Продолжая аналогичные преобразования, имеем

M (T 2 )= M (е2x )= exp

[2(T + σ2 )].

Таким образом, дисперсия логарифмически нормального рас-

пределения имеет вид

Д(T )= (e2T1 +σн2 ) (eσн2 −1).

(2.53)

Функция логарифмически нормального распределения

F(t)= ∫

exp

−

1 lnt

− T1

(2.54)

tσ

2π

ее можно связать с нормированной случайной величиной u, распределенной по нормальному закону, следующим образом:

			(2.55)
F(t)= P(T ≤ t) = P u ≤ lnt − T1		.	(2.55)
	σн
	σн

138

Вероятность безотказной работы записывается как

		,
P(t)= P(T > t) = P u > lnt − T1		,
	σн
	σн

а интенсивность отказов имеет вид

				lnt −T
			f		1

	f (t)				σн
λ(t) =		=				,
	P(t)			tσнP(t)

(2.56)

(2.57)

где f – плотность нормированного нормального распределения, а Т1

иσ – соответственно математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение натурального логарифма случайной величины

T1, обозначающей наработку до отказа. На рис. 2.11 и 2.12 показаны графики функции соответственно вероятности безотказной работы

иинтенсивности отказов для различных логарифмически нормальных распределений.

Пример 2.14. Наработка некоторого элемента до отказа имеет логарифмически нормальное распределение с параметрами T1 = 5

иσн=1. Найдите вероятность безотказной работы элемента и интенсивность отказов при наработке, составляющей 150 ч.

Решение. Подставляя в формулу (2.56) численные значения T1 ,

σн и t, получаем

	ln 150 − 5	= P(u > 0,01) = 0,496 .


P(150) = P u >	1

Используя выражение (2.57) для интенсивности отказов, имеем

	f	ln150		− 5
			1			f (0,01)		0,399
λ(150)=					=		=		= 0,0053	отказа/ч.
	150 1 0,496					74,4		74,4

Таким образом, значения функции логарифмически нормального распределения легко вычислить, используя таблицы для нормированного нормального распределения.

139

P(t)

1,0
0,75
0,75
0,50		1		2
0,50

0,25							t
0,25


0	2,5	5,0	7,5	10,0	12,5	15,0
	Рис. 2.11.	Вероятность безотказной			работы

при логарифмически нормальном распределении наработки до отказа (σн = 0,2): 1 – T1 = 1,0; 2 – T1 = 2,0

20	λ(t)
20	λ(t)
15
15
10		1		2
10

5							t
5


0	2,5	5,0	7,5	10,0	12,5	15,0

Рис. 2.12. Интенсивность отказов при логарифмически нормальном распределении наработки до отказа (σн = 0,2): 1 – T1 = 1,0; 2 – T1 = 2,0

При распределении времени возникновения отказов по закону Релея плотность распределения f (t) задается выражением

f (t)= a(t) =	t				t	2
			exp	−				,	(2.58)
		2					2
	σ				2 σ

где σ − параметр распределения Релея. Тогда вероятность безотказной работы, интенсивность отказов и средняя наработка до отказа выражаются следующими формулами:

140

<<< < Предыдущая 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1314 / 4914 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 > Следующая >>>