42.Суть гетероскедастичності.

Р озглянемо модель, що належить до 1-ої групи моделей з порушенням передумов ЗМНК.

При здійснені вибірки ми маємо справу з конкретними реаліз залежної змінної У і відповідними значеннями змінних регресорів, при цьому завжди буде присутній фактор випадкових збурень, що породжують випадкові відхилення (ВВ).ВВ апріорно можуть набувати довільних значень, що підпорядковуються певним ймовірним розподілом. Однієї з головних вимог до цих розподілів є рівність їх дисперсії. Цю вимогу необхідно розуміти наступним чином: Незважаючи на те, що при кожному конкретному спостереженні, ВВ будуть між собою відрізнятися. Не повинно існувати причини, яка б спонукала значну розбіжність між цими величинами, тобто похибки в середньому для всіх спостережень повинні мало відрізнятися.Розглянемо залежність: Розглянемо для даної моделі 2 випадки:

1. Умова гомоскедастичності виконується.

2. У мова гомоскедастичності не виконується, тобто наявна гетероскедастичність. В цьому випадку можуть виникати проблеми з ефектом масштабу різниць одиниць виміру. У часових рядах явище гетероскедастичності повТязано з тим, що одні і тіж самі показники розглядаються в різні моменти часу. За наявності гетероскедастичності 1-ої групи статистична оцінка дисперсії обчислюється наступним чином:

Тоді Т-,Ф-статистики та інтервали оцінки

параметрів моделі стануть не надійними, отже використовується ЗМНК при наявності гетероскедастичності в моделі. Маємо суму квадратних похибок:

Кожне конкретне значення в наведеній сумі має однакову питому вагу незалежно від того, чи одерж його при значенні Х=хі, де є мала дисперсія, чи призначені Х=хj, де наявна велика дисперсія, що вважається не припустимо.

43.Узагальнений метод найменших квадратів.

Нехай досліджується лін модель:

з порушенням умов гомоскедастичності, тобто

Д ана матриця є симетричною та додатньо-визначеною матрицею н-го порядку. Тоді для даної матриці існує така невирождена матриця «Пі», для якої:

З дійснюємо наступні перетворення:

• ліву і праву частини множимо на :

• В ведемо умовні позначення:

• О держимо рівняння:

П еревірка моделей на гетероскедастичність, в даному випадку, підтверджується. Тому для визначення статистичних оцінок моделей можна викор ЗМНК, для якого:

А ле враховуючи умовні позначення, отримаемо:

Таким чином, одержимо:

Д е

Розглянутий метод перетворень початкової моделі з подальшим використання ЗМНК отримав назву УМНК.

44.Умови Гауса-Маркова.

1. Математичне сподівання випадкових відхилень повинно дорівнювати нулеві: .Ця умова вимагає, щоб випадкові відхилення в середньому не впливали на залежну змінну Y, тобто в кожному конкретному спостереженні відхилення може набувати додатні або від’ємні значення, але не повинно спостерігатися систематичне зміщення відхилень в переважній більшості в бік одного знаку.

2. Дисперсія випадкових відхилень повинна бути сталою величиною , .

3. Відсутність систематичного зв’язку між значеннями випадкового елемента у будя яких двох спостереженнях.

4. Випадковий елемент повинен бути розподілений незалежно від пояснюючих змінних.

5. Компоненти випадкового вектора повинні мати нормальний закон розподілу.

6. Між регресорами , матриці Х повинна бути відсутня лінійна (кореляційна) залежність. Для цього випадку повинна виконуватися умова .

7. Економетричні моделі повинні бути лінійними відносно своїх параметрів.

Економетричні моделі, для яких виконуються умови (1-7), називають класичними лінійними моделями.

Моделі, для яких виконується умова (2) (сталість дисперсії випадкових відхилень), називають гомоскедастичними.

Моделі, для яких не виконується умова (2) ( ), називають гетероскедастичними.