6. Что показывает фазово-частотная характеристика?

Фазо-частотная характеристика — это зависимость сдвига по фазе между синусоидальными сигналами на входе и выходе устройства от частоты входного колебания.

Прямая линия только у таких фильтров:

7. Что показывает спектр сигнала?

Сигнал в частотной области (вместо временной).

Суть разложения в ряды Фурье состоит в том, что негармонический периодический сигнал (при выполнении определенных условий) можно представить в виде суммы гармонических колебаний (гармоник) с определенными амплитудами, частотами и начальными фазами.

Совокупность всех гармонических составляющих негармонического

сигнала называют спектром этого сигнала. Различают фазовый и амплитудный спектр сигнала:

• фазовый спектр сигнала — совокупность начальных фаз всех гармоник

• амплитудный спектр сигнала — амплитуды всех гармоник, из которых складывается негармонический сигнал

В отличие от ряда Фурье, преобразование Фурье раскладывает функцию не по дискретным частотам (набор частот ряда Фурье, по которым происходит разложение, вообще говоря, дискретный), а по непрерывным.

Дискретное преобразование Фурье призвано решить проблему необходимости непрерывности и бесконечности во времени сигнала. По сути, мы полагаем, что вырезали какую-то часть бесконечного сигнала, а всю остальную временную область считаем этот сигнал нулевым.

Математически это означает, что, имея исследуемую бесконечную во времени функцию f(t), мы умножаем ее на некоторую оконную функцию w(t), которая обращается в ноль везде, кроме интересующего нас интервала времени.

Если «выходом» классического преобразования Фурье является спектр – функция, то «выходом» дискретного преобразования Фурье является дискретный спектр. И на вход тоже подаются отсчёты дискретного сигнала.

Спектральная функция определена только на частоте косинусоиды и эффект размывания спектра отсутствует (рис. 11, а).

Теперь рассмотрим тот же временной ряд, увеличив его длительность на половину периода гармонической функции. Спектр такого временного ряда, вычисленный по формуле, показан на рис. 11, б. Как видно, появились новые спектральные составляющие (боковые лепестки), а высота пиков на частотах уменьшилась. В этом случае можно говорить о вытекании энергии из спектрального пика косинусоиды. Если бы имелась еще одна косинусоида, но с другой частотой, то энергия, которая вытекла из частот, добавилась бы к энергии второй косинусоиды. В этом случае говорят о втекании энергии. Вытекание и втекание энергии спектральных составляющих является эффектом утечки. Этот эффект проявляется, если анализируемый временной ряд не содержит целых циклов периодических компонент, образующих временной ряд, или шаг дискретизации не связан с периодом этих компонент соотношением ( здесь N - длина ряда и T - период дискретизации. В этом случае временной ряд длительности P=NT содержит целое число m периодов косинусоиды: ). Очевидно, что эффекта утечки невозможно избежать для непериодических временных рядов.

Явление утечки обусловлено наличием разрывов на концах временного ряда, являющихся следствием конечной длины записи. Ограничение длины ряда во временной области, как было показано, достигается при помощи прямоугольного окна, что ведет к появлению колебаний вида sin(x)/x в спектральной области. Эти колебания определяют конечную ширину пика на частоте сигнала, порождают боковые лепестки, которые изменяют амплитуду и положение соседних спектральных пиков, а также маскируют присутствие слабых гармонических компонент. Эффект утечки может быть ослаблен увеличением частоты отсчетов, поскольку в этом случае увеличивается спектральное разрешение, т.е. число спектральных линий, приходящихся на единицу частотного интервала. Кроме того, если разрывы на концах временного ряда предварительно сгладить, то можно уменьшить колебания спектральной функции. Это сглаживание разрывностей достигается умножением временного ряда x(i) на подходящую оконную функцию w(i) во временной области.

Согласно теореме о свертке, умножению функций во временной области соответствует свертка спектральной функции X(f) со спектральным окном W(f) в области частот.

Для сравнения эффективности применения того или иного временного окна используется несколько показателей, представленных в табл. 3. Ширина полосы частот главного лепестка характеризует частотное разрешение. Для ее количественной оценки используют два показателя:   и  ;   -- ширина полосы на уровне половинной энергии, т.е. на уровне, находящемся на 3 дБ ниже максимума главного лепестка;   -- эквивалентная ширина полосы.

Еще два показателя используются для оценки характеристик боковых лепестков. Один из них -- максимальный уровень боковых лепестков, который позволяет судить, насколько окно подавляет просачивание. Второй показатель -- асимптотическая скорость спадания уровня боковых лепестков от максимума к максимуму при увеличении числа отсчетов N. Все показатели выражаются в децибелах.

Из приведенных в табл. 3 и на рис. 12 окон самый узкий главный лепесток имеет частотная характеристика прямоугольного окна, однако у нее самый высокий уровень боковых лепестков. Окно Наттолла имеет минимальный из всех окон уровень боковых лепестков, но самый широкий главный лепесток.

Итак, применение временных оконных функций путем умножения временного ряда на оконную функцию перед операцией преобразования Фурье позволяет снизить уровень боковых лепестков по сравнению с тем их уровнем, который они имели в случае прямоугольного окна. Снижение уровня боковых лепестков уменьшает смещение соседних спектральных пиков. Однако это дается ценой расширения главного лепестка, что, естественно, приводит к ухудшению спектрального разрешения. Следовательно, необходимо находить компромисс между шириной главного лепестка и уровнем подавлением боковых лепестков.

Например, если достаточно сильные (по амплитуде) гармонические компоненты временного ряда расположены вблизи и на отдалении от слабой компоненты ряда, то следует выбирать окно с одинаковым уровнем боковых лепестков около главного лепестка для того, чтобы обеспечить малое смещение слабой компоненты (рис. 13, а). Если же имеется одна сильная компонента, которая удалена от слабой, то следует выбирать окно с быстро спадающим уровнем боковых лепестков, причем их уровень около главного лепестка в данном случае не имеет большого значения (рис. 13, б). В том случае, если необходимо обеспечить высокое разрешение между близкими компонентами, а удаленные компоненты отсутствуют, то вполне приемлемым может оказаться окно с увеличивающимся уровнем боковых лепестков, но с очень узким главным лепестком (рис. 13, в). Если спектр временного ряда относительно гладок, то можно вообще не применять окна. Иногда во временной ряд добавляют случайную компоненту, которая формирует фон из боковых лепестков на некотором уровне и, таким образом, позволяет отчетливо увидеть главные лепестки.