Способы представления и параметры гармонических колебаний

[1], [2]

• Аналитическая форма - это запись закономерности в виде формулы

• Графическое представление, которое получается в результате построения графика этой функции, дает наглядное представление о её свойствах. На рис. 4.1 показано семейство графиков гармонического колебания для трех значений угла φ. Глядя на рисунок, легко установить параметры гармонического колебания. Во-первых, гармоническое колебание изменяется во времени периодически. Период колебания равен Т. Во-вторых, его амплитуда (максимальное значение) равна U_m. Скорость изменения колебания во времени определяется круговой частотой ω, которая численно равна скорости изменения аргумента косинуса и измеряется в рад/с. В инженерной практике вместо круговой частоты используют циклическую частоту (или просто частоту) f=1/Т. Она показывает какое число периодов укладывается на отрезке времени в одну секунду. Циклическая частота измеряется в герцах (Гц). Наконец, φ - это начальная фаза колебания. Для одиночного гармонического колебания в фазе мало смысла, но когда колебаний несколько, то φ дает представление о расположении колебаний на оси времени друг относительно друга. Если φ > 0, то второе колебание сдвинуто влево, т. е. опережает первое, а если φ < 0 , то ситуация обратная (см. рис. 4.1).

• Векторное представление гармонических колебаний на плоскости делает очень наглядным фазовые и амплитудные соотношения между ними. Строгое обоснование этого приёма вам изложат на старших курсах. Мы же поступим формально. Обратите внимание, что если частота колебания задана, то все значения на оси времени становятся известными, если известны начальная фаза и амплитуда, т. е. значение u(t) при t = 0, которое равно Если принять U_m за гипотенузу прямоугольного треугольника, то u(0) будет выступать в роли его катета. Следовательно, гармоническому колебанию можно поставить в соответствие геометрическое представление, показанное на рис. 4.2. Отрезок, имеющий длину и направление, в математике рассматривается как вектор. На рис 4.2 гипотенуза изображена в виде вектора длиной U_m, который образует угол φ > 0 с горизонтальной осью. Такое представление гармонического колебания называют векторной диаграммой.

Параметры гармонических колебаний (пусть u(t) = U_m * cos(ωt + φ₀)):

• U_m - амплитуда

• U = U_m / -действующее значение

• ω - угловая частота [рад/c]

• f = 1 / T - циклическая частота [Гц]

• T - период колебаний [с]

• θ(t) = (ωt + φ₀) - аргумент косинуса называется полной фазой (просто фаза) гармонического колебания

• φ₀ = θ(0) – начальная фаза. Она определяет значение гармонической функции при t = 0 – u(0) = U_m * cos(φ⁰), т.е. определяет положение гармонической функции на оси времени, изменяется в пределах отрезка [–π, π].

• Пусть θ(t₀) = (ωt₀ + φ₀) = 0. Тогда u(t₀) = U_m * cos(ωt₀ + φ₀) = U_m - гармоническое колебание имеет максимальное значение. Следовательно, точка t₀ на оси времени определяется начальной фазой при заданной частоте ω t₀ = – φ₀/ω