Добавил:

degenetard Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Московский технический университет связи и информатики

Предмет:

Общая теория связи

Файл:

Экзамен 2021 / ОТС Лекции 1 и 2 часть

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

28.01.2022

Размер:

1.06 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 89 / 139 10 11 12 13 > Следующая >>>

если	Т		Т	[z(t)-u				(t)]2dt, то решение ОП:R =1;
если	∫	[z(t)-u (t)]2dt < ∫		[z(t)-u		0		(t)]2dt, то решение ОП:R =1;
	0	1	0			0
	0		0					(2.5)
	Т		Т					(2.5)
если	Т		Т				(t)]2dt, то решение ОП:R = 0.
если	∫ [z(t)-u (t)]2dt > ∫ [z(t)-u				0		(t)]2dt, то решение ОП:R = 0.
	0	1	0		0
	0		0

На рис.2.2 показана структурная схема оптимального приемника Котельникова, реализующую алгоритм (2.5). Схема имеет 2 одинаковых канала, отличающихся только генераторами опорных напряжений ГОН,

генерирующих образцы ui(t):
ГОН 1 – генерирует u1 (t); ГОН 0 – генерирует u0 (t);				ВУ – вычитающее
устройство;	КВ –	квадратор;	ИНТ – интегратор;	РУ – решающее
устройство.
Решающее	устройство	дает на выходе символ 1 или 0, соответствующий

каналу, дающему минимальное напряжение на входе РУ.

Рис.2.2.

Можно несколько изменить алгоритм (2.5). Из выражения (2.5) следует, что можно сократить z2(t), входящее в обе части неравенств.

Получим выражение:

arg max	Т		[2z(t)u		(t)-u	(t)2
arg max	ехр	∫	[2z(t)u		(t)-u	(t)2	] dt ;	(2.6)
по всем ui		0		i	i
по всем ui		0

Очевидно, что это выражение максимально, если максимален показатель. Если энергия посылок сигнала одинакова, то алгоритм работы оптимального

приемника двоичных сигналов принимает вид:
если	Т		Т	z(t)u				(t)dt, то решение ОП:R = 0;
если	∫	z(t)u (t)dt < ∫		z(t)u		0		(t)dt, то решение ОП:R = 0;
	0	1	0			0
	0		0								(2.7)
	Т		Т								(2.7)
если	Т		Т				(t)dt, то решение ОП:R =1.
если	∫ z(t)u (t)dt > ∫ z(t)u				0		(t)dt, то решение ОП:R =1.
	0	1	0		0
	0		0
Оптимальный			приемник,					реализующий	алгоритм	(2.7),	называется
корреляционным.			Структурная схема						оптимального	корреляционного

приемника показана на рис. 2.3. Блоки ПРМ – это перемножители, остальные блоки совпадают с блоками схемы рис.2.2.

Рис.2.3.

2.2. Потенциальная помехоустойчивость приема двоичных сигналов для канала

спостоянными параметрами.

Вдвоичной системе связи стандартные виды модуляции - это двоичная амплитудная модуляция (ДАМ), двоичная частотная модуляция (ДЧМ) и двоичная фазовая модуляция (ДФМ) [2]. Передаваемые сигналы в зависимости

от вида модуляции имеют вид:

(t) = U

соsщ

Д А М :

(t) = 0

;

(t) = U

соsщ

;

Д Ч М :

(2.8)

(t) = U

соsщ

(t) = U

соsщ

Д Ф М :

;

(t) = -U

соsщ

Временные диаграммы этих сигналов приведены в конспекте Теория цифровой связи (часть1)[2].

Пусть канал связи является каналом с постоянными параметрами. Принимаемый сигнал искажается только за счет того, что на него накладывается аддитивный белый гауссовский шум (АБГШ).

Рассчитаем вероятность ошибки для оптимального приемника двоичных

сигналов. Средняя вероятность ошибки равна:
р=р(1)р(0/1) + р(0)р(1/0);	(2.9)

где: р(1), р(0) – априорные вероятности передачи 1 и 0; р(0/1) – условная вероятность приема 0 при передаче 1; р(1/0) – условная вероятность приема 1 при передаче 0.

Рассчитаем р(1/0). Так как мы передавали 0, то z(t)= u0(t) + x(t); но ОП принял решение, что передавалась 1. Следовательно, из-за действия помехи неравенство (2.5) имеет вид:

[z(t)-u

(t)]2dt; (2.10)

∫

[z(t)-u (t)]2dt <

∫

Следовательно р(1/0) равна вероятности выполнения неравенств:

[z(t)-u

p(1/0) = p

∫ [z(t)-u

(t)]

dt < ∫

(t)]

dt =

[x(t)+u

(t)-u

[x(t)+u

(t)-u

= p

∫

(t)]

dt < ∫

(t)]

dt =

= p

[x(t)+u

(t)-u

∫

(t)]

dt < ∫ [x(t)] dt =

(2.11)

{2x(t)[u0

= p

∫

(t)-u1(t)]+[u0(t)-u1(t)]2}dt < 0 =

= p

∫

2x(t)[u0(t)-u1(t)]dt < − ∫ [u0(t)-u1(t)]2dt < 0 =

= p(y < -0.5Eр);

Через у

мы

обозначили интеграл

от

произведения x(t) на разность

[u0(t) – u1(t)].

Величина Ер - это энергия разности символов:

Eр = ∫[u0(t)-u1(t)]2dt;

(2.12)

Помеха x(t) представляет собой нормальный белый шум со спектральной плотностью энергии G0 . Интегрирование есть линейная операция, т.е. y – тоже нормальная случайная величина[3]. Её среднее значение равно 0, т.к. среднее значение помехи равно 0. Дисперсия процесса y равна[3]:

	Т		{u1		Т	{u1
уy2 =		∫	{u1	(t)-u0(t)}х(t)dt	∫	{u1	(t1)-u0(t1)}х(t1)dt1
		0			0

Таккак усреднению по множеству подвергается только помеха, то

врезультате усреднения произведения х(t)х(t1) получим функцию корреляции белого шума:G0д(t-t1). Используя фильтрующее свойство

дельта-функций, получим:
2	=		Т	2
2	=	G0	∫ {u1	(t)-u0(t)} dt =G0Ер;	(2.13)
уy		G0	∫ {u1	(t)-u0(t)} dt =G0Ер;	(2.13)
			0

Таким образом, ФПВ процесса y запишем в виде:


		-			y2
		-			2
W(y) =		1		е 2уy ;		(2.14)
W(y) =	уy			е 2уy ;		(2.14)
	уy		2р

Вероятность приема 1 при передаче 0 есть вероятность того, что нормальная величина у принимает значения меньше - 0.5 Ер:

-0.5Ер

р(1/0) =

∫

2уy

dy =1-F

;

-∞

2р

(2.15)

где функция F(x) –табулированная функция (интеграл Лапласа)[3]:

F(0)=0.5, F(∞)=1, F(- ∞)=0 .

Аналогично можно получить такое же выражение для р(0/1). Следовательно, выражение (2.15) есть средняя вероятность ошибки для оптимального приемника.

Анализ (2.15) позволяет сделать следующие выводы:

1.Потенциальная помехоустойчивость оптимального приемника зависит только от отношения энергии разности посылок к спектральной плотности помехи.

2.Минимальная вероятность ошибки равна 0.

3.Максимальная вероятность ошибки для двоичной системы связи равна 0.5.

4.Чем больше энергия разности посылок, тем выше помехоустойчивость системы сигналов.

Вычислим Ер

для

ДАМ, ДЧМ, ДФМ :

соsщ t -0)2dt = 0.5U2 Т;

ДАМ:Е

= ∫

соsщ t)2dt =U2

ДЧМ:Е

= ∫

соsщ t-U

Т;

соsщ t)2dt =2 U2

ДФМ:Е

= ∫

соsщ t +U

Т;

(2.16)

Т.о. при

постоянной

мощности

сигнала

и,

следовательно, мощности

передатчика ( Um2 = const ) наибольшую энергию разности посылок и наибольшую помехоустойчивость имеет ДФМ. Двоичная фазовая модуляция выигрывает 2 раза по мощности передатчика по сравнению с ДЧМ и 4 раза по сравнению с ДАМ. Соответственно, ДЧМ выигрывает 2 раза по мощности передатчика по сравнению с ДАМ и проигрывает 2 раза по мощности передатчика по сравнению с ДФМ.

Формула средней вероятности ошибки для двоичной системы сигналов может быть записана в стандартном виде, если вместо Ер подставить полученные выражения и ввести параметр h02 :

ДАМ :р =1-F

; ДЧМ :р =1-F(h

); ДФМ :р =1-F(h

);

где: h2

;

2N0

N0 = 2G0 -односторонняя спектральная плотность энергии

шума;

В результате

получим общую

формулу

виде;

для ДФМ;

р =1-F(б h0);

для ДЧМ;

где

б =

(2.17)

для ДАМ;

Параметр h02

– есть отношение

энергии бита к N0. На графике рис. 2.4

показана зависимость вероятности ошибки р от h0 . На этом графике параметр h0 отложен в линейном масштабе, а вероятность ошибки - в логарифмическом масштабе, т.е. мы пишем вдоль оси р -истинное значение вероятности ошибки, а откладываем логарифм, т.е. lg р . Ось р направлена вниз.

Рис.2.4.

Анализируя кривые потенциальной помехоустойчивости на рис.2.4 , приходим к выводу, сформулированному выше: для получения заданной вероятности ошибки, например 2,6 10-3, при ДФМ необходимо иметь h0 = 2 (h02 =4), при

ДЧМ необходимо иметь h0 =2,82 (h02=8), при ДАМ необходимо иметь h0 =4 (h02 =16).

2.3. Некогерентный прием в канале с неизвестной начальной фазой сигнала. Оптимальный приемник дает максимальную помехоустойчивость, но его схема довольно сложна в реализации. В частности, необходимо знать образцы принимаемых сигналов с точностью до фазы. Если начальная фаза сигнала неизвестна, то используются неоптимальные, некогерентные способы приема. Структурная схема некогерентного демодулятора сигнала ДАМ показана на рис.2.5. Обозначения на рис.2.5 следующие: ПФ - полосовой фильтр, АД – амплитудный, некогерентный детектор, РУ – решающее устройство.

Если на входе ПФ действует сигнал в сумме с нормальным шумом, то при передаче 0 напряжение на выходе АД распределено по закону Релея W(Um/0), а при передаче 1 - по закону Райса W(Um/1) (рис. 2.6)[3].

Рис.2.5.
При оптимальном пороговом напряжении V площади	под

соответствующими ФПВ на рис.2.6 характеризуют вероятности ошибок р(1/0) и р(0/1). Вероятность ошибки для некогерентного приема сигнала ДАМ определяется по формуле:

	р = 0.5 ехр (-h2/4 )		(2.18)
где h2 - отношение с/ш на выходе ПФ.
W(Um)	W(Um/0)	W(Um/1)
	з-н Релея
		з-н Райса	Рис.2.6.
0			Um
0			Um
		p(1/0)
	p(0/1) V	p(1/0)

Структурная схема некогерентного демодулятора сигнала ДЧМ показана на рис.2.7. Т.к. при передаче сигнала ДЧМ передаются две разные частоты, то на приеме необходимо иметь два полосовых фильтра: ПФ1, настроенный на частоту ω1 и ПФ0, настроенный на частоту ω0 , и два АД. РУ принимает решение, соответствующее большему напряжению. ФПВ на выходе АД1 и АД0 аналогичны рассмотренным выше. Например, при передаче 1 на выходе АД1 имеем распределение Райса, а на выходе АД0 распределение Релея. Вероятность ошибки для некогерентного приема сигнала ДЧМ определяется

по формуле:
р = 0.5 ехр (-h2/2 )	(2.19)

Рис.2.7.

Если фаза передаточной функции канала связи медленно флуктуирует, оставаясь практически неизменной на интервале длительности, по крайней мере двух соседних символов, посылок, то оптимальным способом передачи является относительная фазовая модуляция (ОФМ). Этот способ модуляции

был рассмотрен в 1-ой части конспекта [2]. При ОФМ фаза данного символа si отсчитывается от фазы предыдущего символа si-1. При передаче 0 - фаза

данного символа равна фазе предыдущего символа, при передаче 1 – фаза данного символа изменяется на π по сравнению с фазой предыдущего символа. Определим потенциальную помехоустойчивость

приема двоичной ОФМ (ДОФМ).

Прием «сравнением полярностей» Схема демодулятора по рис.2.8 содержит фильтр ПФ, синхронный детектор

СД, генератор опорного напряжения ГОН, перемножитель Прм, линию задержки ЛЗ на время Т, решающее устройство РУ.

Рис.2.8.

В соответствии со схемой демодулятора рис.2.8, ошибка при приеме сигнала ДОФМ не произойдет, если n-я и (n-1)-я посылки приняты верно, либо если n-я и (n-1)-я посылки приняты неверно. Вероятность первого события равна р1= (1- рДФМ)2, где рДФМ – вероятность ошибки при приеме сигнала ДФМ. Вероятность второго события равна: р2 = рДФМ2. Полная вероятность правильного приема равна р3 = (1- рДФМ)2+ рДФМ2 . Вероятность ошибки равна:

р = 1- (1- рДФМ)2 - рДФМ2 = 2 рДФМ (1- рДФМ) =2F (h0√ 2 )[1-F (h0√ 2 )]; (2.20) Прием «сравнением фаз»

В соответствии со схемой демодулятора рис. 2.9 , знак напряжения на выходе демодулятора определяется знаком интеграла от произведения двух соседних по времени отрезков процесса z (t) на входе демодулятора.

Вероятность ошибки для приема «сравнением фаз» определяется по

формуле:
р = 0.5 ехр (-h2)	(2.21)

Рис.2.9.

Т.о. и для некогерентных способов приема ДОФМ является наиболее помехоустойчивым способом передачи информации и выигрывает 2 раза по мощности передатчика по сравнению с ДЧМ, и 4 раза по сравнению с ДАМ.

3. СОГЛАСОВАННЫЙ ФИЛЬТР.

3.1. Параметры и характеристики согласованного фильтра. Оптимальный фильтр - это фильтр, обеспечивающий на выходе

максимальное отношение мощности сигнала к мощности шума. Если помеха,

поражающая сигнал, является белым шумом, то оптимальный фильтр называется - согласованным фильтром (СФ). Таким образом, если на вход СФ

поступает сигнал uc(t) в сумме с белым шумом x(t): z(t)=uc(t)+x(t) (3.1)

то на выходе СФ получим максимальное отношение мощности сигнала к мощности шума. Определим, какими должны быть характеристики СФ. Напряжение на выходе линейного фильтра с импульсной реакцией g(t) имеет вид:

t t

uвых (t) = ∫uc (τ)g(t −τ )dτ + ∫x(τ )g(t −τ )dτ;		(3.2)
uвых (t) = ∫uc (τ)g(t −τ )dτ + ∫x(τ )g(t −τ )dτ;
0	0

Первое слагаемое – напряжение полезного сигнала, второе – напряжение помехи. Дисперсия помехи равна:

		t	2		t	t
σ 2 = ∫x(τ )g(t −τ )dτ				= ∫x(τ )g(t −τ )dτ ∫x(v)g(t − v)dv			=
		0			0	0	(3.3)
t	t				t	t	(3.3)
t	t				t	t
= ∫∫			g(t −τ )g(t − v)dτ dv = ∫∫G0δ (τ − v) g(t −τ )g(t − v)dτ dv =
= ∫∫		x(τ )x(v)
0	0			0 0

= G0 ∫g2 (t −τ )dτ;

где G0δ(τ-ν) – функция корреляции белого шума со спектральной плотностью энергии G0.

Отношение мощности сигнала к дисперсии шума на выходе СФ равно:

∫uc

(τ )g(t −τ )dτ

∫uc2 (τ )dτ ∫ g 2 (t −τ )dτ

∫uc2 (τ )dτ

h2 =

≤

;

∫ g2 (t −τ )dτ

∫ g 2 (t −τ )dτ

(3.4)

∫uc2 (τ )dτ

h2 ≤

;

Первое неравенство записано в соответствии с неравенством Буняковского – Шварца. Замена t на Т во втором неравенстве выполнена, исходя из неотрицательности подинтегрального выражения, которое не убывает при увеличении верхнего предела. Равенство в (3.4) достигается только при условии, что

g(t)=uc(T-t);

Это означает, что название фильтра "согласованный" определяется тем, что его характеристики согласованы с характеристиками сигнала uс(t):

- импульсная реакция g(t) согласованного фильтра совпадает с зеркальным отображением сигнала:

g(t)=uс(Т-t)

(3.5)

Для импульса несимметричной формы, заданного, например, выражением: uc(t) = Um(l-t/T), при 0 < t < T,

импульсная реакция фильтра, согласованного с ним, равна: g1(t)=u(T-t)=Umt/T, при 0 < t < T.

Соответствующий треугольный	сигнальный импульс и импульсная реакция
согласованного с ним фильтра имеют вид рис.3.1а,б.
а)	б)

Рис.3.1.

Определим частотную характеристику СФ, как преобразование Фурье от g(t):

K(jω)=∫g(t)e− jωtdt =∫uc(T−t)e− jωtdt =

0	0
T
=e− jωT ∫uc(z)ejωzdz=e− jωTSc(−jω)=\|Sc(−jω)\|e− j[ωT+ϕ(ω)];		(3.6)
0

Таким образом, амплитудно-частотная характеристика (АЧХ) согласованного фильтра |К(jω)| с точностью до постоянного множителя A совпадает с

амплитудным спектром сигнала \|S(jω)\|:
\|К(jω)\|=A\|S(jω)\|	(3.7)
- фазо-частотная характеристика (ФЧХ) согласованного фильтра
противоположна по знаку ФЧХ сигнала:
φ(ω)= - φс( ω) – ωТ;	(3.8)

Рассмотрим характеристики фильтра, согласованного с одиночным прямоугольным импульсом (рис.3.2). Такой импульс описывается выражением:

u(t)=Um, при -0,5Т < t < 0,5Т ;

где Um,T - амплитуда и длительность импульса, соответственно.

Рис.3.2.

Спектр этого импульса равен:

S(j ω)=UmTsin(ω T/2)/( ω T/2). (3.9) Следовательно, АЧХ фильтра, согласованного с прямоугольным импульсом равна:

\|K(jω )\|=UmT	sin(ωТ/2)	;
\|K(jω )\|=UmT	( ωT/2)	;	A=1	(3.10)
			A=1	(3.10)

На рис.3.3 нарисована АЧХ фильтра, согласованного с прямоугольным импульсом длительностью Т.

Рис.3.3.

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 89 / 139 10 11 12 13 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке Экзамен 2021

#
28.01.20227.95 Mб59ОТС Возможные вопросы и ответы на них.docx
#
28.01.2022669.07 Кб46ОТС Лекции 1 и 2 часть.docx
#
28.01.20221.06 Mб99ОТС Лекции 1 и 2 часть.pdf
#
28.01.20226.89 Mб94ОТС ответы на вопросы.pdf