Экзамен 2021 / Панков Пособие по ТВиМС часть 2

C 2N 1 S 1 ;1 .

Пример. В эксперименте каждый человек классифицировался по двум признакам: цвету глаз и цвету волос. При этом по первому признаку 1 он

относился к одной из трех категорий S 3 – голубые, зеленые, карие глаза; и

по второму признаку 2 к четырем N 4 – блондин, брюнет, шатен, рыжий.

Выпишем таблицу сопряженности признаков для n=6800 человек.

Для данной выборки значение статистики

Пусть уровень значимости 0,001.

N 1 S 1 6,

2 C .

Следовательно, гипотезу о независимости этих двух признаков следует отклонить, вероятность ошибки при этом значительно меньше 0,001.

41

Тема № 16 Последовательный статистический анализ

Во всех статистических процедурах, рассмотренных нами в предыдущих темах, объем выборки предполагался фиксированной величиной. Однако в ряде случаев бывает более выгодно с точки зрения соответствующих приложений не фиксировать заранее объем выборки, а регулировать его в зависимости от выборочных значений, которые принимают ее компоненты. В таком случае объем выборки можно рассматривать как случайную величину.

Определение. Статистические процедуры, для которых объем выборки зависит от значений, принимаемых её компонентами, носят название

последовательных.

Последовательные процедуры можно использовать как для оценки параметров, так и для проверки гипотез. Рассмотрим сейчас последовательную процедуру выбора одной из простых гипотез, носящую название

последовательного критерия отношения правдоподобия, или процедуры Вальда, или последовательного анализа Вальда.

Итак, пусть наблюдается случайная величина с функцией распределения F x с неизвестной плотностью распределения p x . Сформулируем две

простые гипотезы:

H0 : p x p0 x , H1 : p x p1 x ,

где p0 x и p1 x - фиксированные плотности распределения.

Пусть x1,...,xn,... - результаты наблюдений над . Рассмотрим статистику отношения правдоподобия

Если T1 x1 B , то принимаем в качестве истинной гипотезу H1 .

Если T1 x1 A, то принимаем в качестве истинной гипотезу H0 .

Если A T1 x1 B , то продолжаем процедуру.

Проводим наблюдение x2 и вычисляем статистику T2 x1,x2 .

Если T2 x1,x2 B , то принимаем в качестве истинной гипотезу H1 .

Если T2 x1,x2 A , то принимаем в качестве истинной гипотезу H0 .

Если A T2 x1,x2 B , то продолжаем процедуру.

Итак далее до принятия решения. Обозначим

42

i - независимые и одинаково распределенные случайные величины.

n

Тогда lnTn x1,...,xn i , и lnA lnB .

i 1

Введем обозначения:

E i | Hk Ek i ak , D i | Hk Dk i k2 ,

где k 0,1 .

В дальнейшем будем предполагать, что верна гипотеза H0 .

Обозначим через случайную величину, равную числу шагов до принятия решения.

Теорема. Во введенных обозначениях

P 1.

Доказательство. По теореме о непрерывности вероятностной меры

43

lnA 1 ... m ... m k 1 1 ... km lnB .

Введем обозначения:

m

1 i ,

i 1

m

2 i m ,

i 1

…

m

k i m k 1 , i 1

C lnA lnB .

Теперь

P km P lnA 1 lnB;lnA 1 2 lnB;...;

Обоснуем последний переход:

1.Если 1 0, то вследствие того, что 1 lnB , получаем 1 lnB C .

Если 1 0, то вследствие того, что 1 lnA, получаем 1 lnA C .

Вычитая из второго неравенства первое, можно получить, что lnB lnA 2 .

Третье неравенство получаем из первых двух, и так далее.

Случайные величины 1, 2,..., k - независимы и одинаково распределены,

следовательно:

k k

P km P j C P 1 C

44

C

D 1 4C2 p 1 x dx 4C2 .

C

Пришли к противоречию с выбором m .

Теорема доказана.

Мы в доказательстве предположили, что 02 0. Попробуем отказаться от

то p1 xi ea0 p0 xi .

Проинтегрировав обе части этого равенства по всей числовой прямой, получаем:

теорему:

Теорема. Во введенных выше обозначениях среднее число шагов до принятия решения конечно:

E .

Доказательство. Расписывая определение математического ожидания и суммируя по получившимся столбцам, получаем

E n P n

n 1

45

A P H0 | H0 A 1 P H1 | H0 A 1 .

Мы получаем, что A 1 . Следовательно,

A 1 .

3). Пусть нам заранее заданы и - вероятности ошибок первого и второго рода. Укажем по ним A и B .

47

Четверка A,B, , полностью задает последовательный критерий отношения правдоподобия.

Возьмем в качестве границ числа a и b такие, что a 1 , b 1 , и

рассмотрим два критерия A,B, , и a,b, ', ' .

b

B

A

a

Утверждение. Во введенных выше обозначениях

' ' .

Доказательство. Согласно доказанным нами ранее неравенствам a 1 ' ' , b 1 ' ' .

Следовательно, мы получаем систему

Вычтем из первого неравенства второе и получим

' ' .

Отсюда следует, что ' '.

Теорема доказана.

Оценка среднего числа шагов до принятия решения

Пусть случайная величина - число шагов до принятия решения. Согласно доказанным нами ранее теоремам

P 1, E , E i E E 1 .

i 1

E i

E 1 |Hk Ek 1 ak , где k 0,1 .

48

ln B

Делаем вывод, что при таких условиях в момент окончания процедуры либо