Добавил:

degenetard Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Московский технический университет связи и информатики

Предмет:

Анализ Случайных Процессов

Файл:

Экзамен 2021 / Панков Пособие по ТВиМС часть 2

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

28.01.2022

Размер:

730.29 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 64 5 6 > Следующая >>>

														2			2			n a1 a0									xj
										n a1					a0					n a1 a0									xj

exp																															.
exp																	2									2					.
														2					j 1
														2					j 1

Неравенство T x1,...,xn C , где C 0, равносильно неравенству
			n																					2					2
						a1 a0 xj														n				2					2
						a1 a0 xj														n		a1			a0
																																,
exp																	C exp
exp												2					C exp										2
												2												2			2
	j 1																							2



	a		1	a			0			n									n a12 a02
			1				0	xj							lnC															,
					2			xj							lnC						2			2						,
									j 1												2
																			2					2
										2								n a1 a0
										2								n a1 a0
																													,
		nx													lnC
		nx													lnC							2
							a1 a0													2
							a1 a0													2

																			2						2
									2										n a1			a0
									2										n a1			a0

x																lnC							2						.
									1
									1		a			0							2
						n a					a										2

Обозначим величину, стоящую													в			правой части												неравенства, через C1 и

получим, что наиболее мощный критерий определяется следующим образом:

- если x C1			, то принимаем	гипотезу H0 , т. е. a a0 ,
- если		C1	, то принимаем гипотезу H1 , т. е. a a1 .
	x

Вычислим вероятности ошибок первого и второго рода наиболее мощного

критерия. Пусть верна гипотеза H0 , т. е.

x1,...,xn - выборка из N(a0, 2). Тогда

1 xj N(a0,

N(0,1).

x a0

n j 1

/ n

Тогда

P H1 | H0 P

C1 | H0

n C

x a

| H

1 Ф

где Ф x - функция распределения стандартного нормального закона.

Аналогично определяем

P H0 | H1 P x C1 | H1 Ф n C1 a1 .

Из заданного уровня значимости можно найти значение C1 :

n C

t ,

1 Ф

где t1

- квантиль стандартного нормального распределения уровня 1 ;

a .

1 0

2. Пусть x1,...,xn – выборка из нормального распределения с известным математическим ожиданием и неизвестной дисперсией: N a 2 , где a -

известно, 2 - неизвестно.

H0 2 02 , H1 2 12 .

Пусть при этом 2			2 .
		0		1
Для	статистики		T x1,...,xn									наиболее													мощного											критерия имеет место
равенство																																							2
													n												j			2						j					2
																									j									j
																		n						x a									x a
																		n						x a									x a
											0
						n
	T x			,...,x											exp											2											2
		1																							2	2									2		2
																				1					2	0									2
											1							j		1						0										1


									0	n								2					2		n							2
									0								1 0
												exp														x	j	a						.
												exp								2			2			x		a						.
																				2			2
																	2 1 0								j 1
									1								2 1 0								j 1
Если	T x1,...,xn C				-			принимаем												гипотезу										H0				,		если				T x1,...,xn C -
отвергаем. Логарифмируя и упрощая неравенство T x1,...,xn C , получаем
				n						2							2		2												1
															2 0			1													1								.
							j																															1
					x			a													lnC n ln															C
				j 1
				j 1										1 0																	0
Тогда наиболее мощный критерий имеет вид:
	n
- если xj a 2		С1 , то принимаем гипотезуH0																											, т. е. 2										02 ;
	j 1
	n
- если xj a 2		С1 ,			то отвергаем гипотезу H0 , т. е. 2																																	12 .
	j 1
Если верна гипотеза H0							и так как									xj		a				N 0,1 , то
Если верна гипотеза H0							и так как															N 0,1 , то
																	0
													n								2
															xj a											2
																								.
																								.
																										n
											j 1								0
																			0

Тогда

где F n2 x

P H1

| H0

P xj

j 1

a / 0

| H

P xj

1 / 0

1 F 2 C1 / 0

j 1

P H0

| H1

P xj

j 1

F 2 C1

| H1

P xj a / 1

C1 / 1

/ 1

j 1

- функция распределения случайной величины, распределенной по

закону хи-квадрат с n степенями свободы.

При заданном уровне значимости можно задать C1 .

Пусть 1 F 2	C	/ 2		, тогда C	1	/ 2	2	и
n	1	0			1	0	n;1

C 2 2 ,

1 0 n;1

где 2n;1 - квантиль хи-квадрат распределения с n степенями свободы уровня

1 .

Мы разобрали случай, когда требуется различить две простые гипотезы. На практике данный случай встречается редко, но он является самым простым. Методы различения сложных параметрических гипотез зачастую в своей основе имеют видоизмененный наиболее мощный критерий, т. е. рассмотренный нами критерий отношения правдоподобия.

Тема № 15 Проверка статистических гипотез по выборкам фиксированного объема (непараметрическая статистика)

Пусть нам неизвестен закон распределения, из которого производится выборка. В этом случае формулируется только одна основная гипотеза H0 .

Обычно рассматриваются следующие постановки задач, которые часто встречаются на практике:

1. Имеется выборка, и нас интересует вопрос, является ли она выборкой из заданного закона распределения. В этом случае основную гипотезу H0

называют гипотезой о виде распределения.

2.Имеются две выборки, и возникает вопрос, являются ли они наблюдением над одной случайной величиной или разными. В этом случае говорят о

гипотезе однородности.

3.Имеется выборка из двумерной случайной величины 1, 2 , и мы

пытаемся определить, независимы ли случайные величины 1 и 2 . В этом случае H0 - гипотеза независимости.

Во всех этих трех случаях формулируется только одна гипотеза - H0 , и

требуется проверить, согласуются ли имеющиеся статистические данные с этой гипотезой, или они ее опровергают. Соответствующие критерии именуются критериями согласия. Аналогично предыдущей теме формулируются понятия простой и сложной гипотезы: если H0 однозначно определяет распределение

наблюдаемой случайной величины, то ее называют простой, в противном случае – сложной. Из приведенных выше трех постановок задачи только в первом случае H0 может быть простой. К примеру, если основная гипотеза H0

формулируется следующим образом: «случайная величина, из которой производится выборка, имеет стандартное нормальное распределение:N 0,1 ». Если же H0 формулируется, например, как «случайная величина, из

которой производится выборка, имеет нормальное распределение», то она сложная.

Критерий согласия хи-квадрат

Пусть случайная величина , из которой производят выборку, обладает неизвестной функцией распределения: F x . Имеется выборка из нее

x1,...,xn .

Пусть основная гипотеза H0 формулируется следующим образом: случайная величина имеет некоторое фиксированное распределение с функцией распределения F0 x :

H0 : F x F0 x .

Наша задача – проверить, согласуется ли выборка с гипотезой H0 .

Рассмотрим три случая.
1). Пусть случайная величина принимает конечное число значений:

y1	...yN

	.
p	...p
1	N

Основная гипотеза H0

состоит в том, что выборка x1,...,xn

производится из

полиномиальной схемы с вектором вероятностей исходов

p1,...,pN ,

равным

фиксированному вектору

p1(0),...,pN(0) ,

где pj(0)

для всех j

1,N

H0 :

Рассмотрим статистику хи-квадрат (статистику 2 ):

(0)

hj npj

n ,

(0)

j 1

где hj Ind xk yj -

число выборочных значений yj , т.

е. число,

равное

k 1

тому, сколько раз в выборке встретилось значение yj

, по всем j

1,N

Зафиксируем постоянную C 0.

Сформулируем критерий согласия хи-квадрат 2 :

-если статистика 2 C , то принимаем гипотезу H0 ;

-если статистика 2 C , то отвергаем гипотезу H0 (принимаем H0 ).

Критерий 2 характеризуется уровнем значимости, т. е. вероятностью ошибки первого рода , состоящей в том, что гипотеза H0 отвергается при условии, что она верна:

P H0 | H0 .

Для нахождения вероятности ошибки первого рода критерия 2 используется следующая теорема:

Теорема (Пирсона – без доказательства). Если верна гипотеза H0 , то

2 D 2			,
	n	N 1
где N2	1 -	случайная величина, имеющая распределение хи-квадрат с N 1
степенью свободы.
Отсюда,		при больших значениях n получаем следующую приближенную

формулу для вычисления вероятности ошибки первого рода критерия 2 :

P H0 | H0 P 2 C | H0

1 P 2 C | H0 1 F 2 (C),

N 1

где F 2N 1 (x) - функция распределения случайной величины, имеющей хи-квадрат распределение с N 1 степенью свободы.

При заданной по этой формуле,

меняя приближенное равенство на

обычное, вычисляют конкретное значение C :

C N2

1;1 ,

т. е. C - квантиль хи-квадрат распределения с N 1 степенями свободы уровня

1 ,

Отметим, что так как

- сложная гипотеза, то вычислить ошибку второго

рода

P H0

очень трудно.

2).

Пусть

x1,...,xn – выборка

из

дискретной случайной величины,

принимающей счетное число значений:

...yN 1 yN

...

p ...p

N 1

...

Основная гипотеза имеет вид:

H0 : p1,...,pN 1,pN ,... p10 ,...,pN0 1,pN0 ,... .

Данный случай сводят к предыдущему с помощью следующего приема. Будем считать, что x1,...,xn – выборка из полиномиальной случайной

величины следующего вида:

...y

N 1

...p

N 1

где для всех j

выполняется yj'

yj и pj'

pj , и

1,N 1

yN' yN ,yN 1,yN 2,... ,

pN' pN k .

Тогда H0 имеет вид

k 0

(p1(0)',...,pN(0)'1,pN(0)'),

H0 :

p ' p1' ,...,pN'

1,pN'

p0'

где для всех j 1,N 1 выполняется p(0)'j

p(0)j

, а pN(0)' pN(0) k .

k 0

3). Пусть –

абсолютно непрерывная

случайная величина с функцией

распределения F x .

К примеру, N

0,1 .

Основная гипотеза имеет в этом случае вид:

H0 : F (x) F0(x),

где F0 x - некоторая фиксированная функция распределения.

Разобьем область значений случайной величины на N непересекающихся подмножеств S1,...,SN . Если xi Sk , то говорят, что произошло событие Ek , для всех k 1,N .

n			xi	Sk
Обозначим через hk Ind			xi	Sk		количество			событий EK в выборке,
i 1
N
hk n .
k 1
Обозначим pk(0) P SK \| H0 ,				и будем считать,					что производится выборка
из дискретной случайной величины:

					E1	...EN

						... p		.
					p	... p
					1			N
Основная гипотеза имеет вид:								p1(0),...,pN(0) .
H0 :		p1,...,pN
H0 :	p	p1,...,pN					p0

И мы сводим ситуацию опять к первому случаю.

Метод, который мы применили во втором и в третьем случае, можно назвать

методом группировки данных.

Пример. При n 4040 бросаниях монеты Бюффон получил h1 2048

выпадений герба и h2 n h1 1992 выпадений решетки. Проверим, используя критерий 2 , совместимы ли эти данные с гипотезой H0 о том, что монета была симметрична, т. е. что вероятность выпадения герба p 1/ 2. Здесь

N 2 ,

p1(0) 1/ 2 p , p2(0) 1 p 1/ 2 ,

	2	h1 пр 2	h2		п 1 р 2
					п 1	р
		пр			п 1	р
					2048 2020 2			1992 2020 2	0,776 .
							2020	2020
Пусть уровень значимости критерия 0,05.
Тогда C 2				2		3,841.
		N 1;1			1;0,95
Сравним значение статистики 2								и величину C . Так как X2 C , то данные

не противоречат гипотезе.

Критерий однородности хи-квадрат

Одной из важных прикладных задач математической статистики является задача проверки однородности статистического материала. Пусть имеются две независимые выборки, описывающие один и тот же процесс, явление и так далее, но полученные в разное время или, вообще говоря, в разных условиях. Требуется установить, являются ли они выборками из одного и того же распределения, или же закон распределения от выборки к выборке меняется. Такая задача может возникнуть, к примеру, при контроле качества некоторой продукции, когда по контрольным выборкам из различных партий требуется

установить, не менялось ли ее качество от смены к смене или в результате изменения технологического процесса и так далее.

В таком виде задачу можно сформулировать следующим образом:

Пусть x1,...,xn - выборка из случайной величины с некоторой функцией распределения F x , y1,...,yn - выборка из случайной величины с некоторой функцией распределения F (x).

Требуется проверить гипотезу однородности:

H0 :F (x) F (x).

Часто применяемым в такой ситуации критерием является критерий однородности хи-квадрат 2 . Его используют для проверки однородности

данных, имеющих конечную дискретную структуру. Но к этому виду можно свести любую другую модель, как мы показали выше, применяя предварительно метод группировки данных. Поэтому метод 2 применим, на самом деле, к анализу любых данных, т. е. является в этом смысле универсальным. Кроме того, с помощью этого метода можно анализировать

любое конечное число выборок.
Предположим, что существует S последовательных	серий	независимых
наблюдений x1,1,...,xn1,1 , …, x1,S ,...,xnS ,S , состоящих из	n1, ,nS	наблюдений

соответственно. При этом в каждом из них наблюдалась величина, принимающая одно из N значений: E1, ,EN .

Т. е. выборка

x1,1,...,xn1,1

производилась из случайной величины

... EN

E1 ...

...p

,…, x1,S ,...,xnS ,S

– из S

...p

1,1

N,1

1,s

N,S

Основная гипотеза имеет в этом случае вид:

H0 : pj,1 ... pj,S для всех j

1,N

Или, как можно переформулировать,

H0 : pj,i pj

для всех j

и для всех i

1,N

1,S

Ind xk,i

Обозначим hj,i i

– количество исходов Ej в i-й выборке.

k 1

Если бы мы использовали ту же статистику, что и в предыдущей подтеме, то

мы получили бы для каждой выборки статистику

N hj,i nipj,i 2

N hj,i nipj 2

nipj,i

nipj

j 1

Но здесь возникает проблема: мы не знаем pj,i pj - они нам не даны

изначально. Значит, вместо них следует использовать какие-то оценки. Используем в статистике вместо pj оценку

pj hj,i

i 1

Обозначим

N hj,i nipj* 2

i 1

j 1

nipj

Теорема (без доказательства). Если верна гипотеза

H0 , то

2* D 2

NS N S 1

N 1 S 1

т. е. статистика 2*

сходится по распределению к хи-квадрат распределению,

число степеней свободы которого равно NS N S 1. Сформулируем критерий однородности выборок хи-квадрат:

-если статистика 2* C , то принимаем гипотезу H0 ;

-если статистика 2* C , то отвергаем гипотезу H0 (принимаем H0 ).

Уровень значимости , также как и в случае критерия согласия хи-квадрат, задает конкретное значение C :

P H0 | H0 P 2* C | H0

1 P

C | H

1 F 2

N 1 S 1

Отсюда принимаем C 2

N 1 S 1 ;1

Критерий независимости хи-квадрат

Пусть в эксперименте наблюдается двумерная случайная величина

1, 2

неизвестной

функцией

распределения

F 1, 2 (x,y), и

имеется основание

предполагать, что компоненты 1

и 2 независимы. В

этом

случае

надо

проверить гипотезу независимости

H0 : F ,

x,y F x F

y ,

где F x

- некоторые одномерные функции распределения.

Простой критерий согласия для гипотезы H0

можно построить, основываясь

на методике хи-квадрат.

x1,y1 , x2,y2 ,..., xn,yn

Будем считать, что выборка

производится

из

двумерной

случайной

величины

1, 2 ,

где

случайная

величина

принимает конечное число -

S - некоторых значений a1,...,aS , а 2

- N значений

b1,...,bN .

Эти

значения

обычно

называют

признаками.

Обозначим

через

Ind

число появлений в выборке пары признаков

i,j

k 1

S	N
Очевидно, что hi,j		n , где n - объем выборки. Результаты наблюдений
i 1	j 1

удобно располагать в виде таблицы сопряженности двух признаков:

							Сумма
		b1	…	bj	…	bN	по
							строке:
	a1	h1,1	…	h1,j	…	h1,N	h1,0
	…	…	…	…	…	…	…
	ai	hi,1	…	hi,j	…	hi,N	hi,0
	…	…	…	…	…	…	…
	aS	hS,1	…	hS,j	…	hS,N	hS,0
	Сумма
	по	h0,1	…	h0,j	…	h0,N	n
	столбцу:
Обозначим:

pi,j - вероятность появления пары признаков ai,bj , pi,0 - вероятность появления признака ai ,

p0,j - вероятность появления признака bj .

Основная гипотеза имеет в этом случае вид:

H0 : pi,j pi,0p0,j для всех j 1,N и для всех i 1,S .

Как и в предыдущей подтеме, при построении статистики воспользуемся вместо неизвестных вероятностей их оценками.

Рассмотрим статистику:

S N

hi,j npi*,opo*,j 2

hi,0

h0,j

где pi,o

, po,j

i 1 j 1

npi,opo,j

Теорема (без доказательства). Если верна гипотеза H0 , то

N S 1

N 1 S

Сформулируем критерий независимости признаков хи-квадрат:

- если статистика 2 , то принимаем гипотезу ;

C H0

- если статистика 2 , то отвергаем гипотезу (принимаем ).

C H0 H0

Также, как и в случае предыдущих критериев, ошибка первого рода, или уровень значимости , задает конкретное значение C :

C | H0

P H

0 | H

0 P

1 P

C | H

1 F 2

N 1 S 1

Поэтому принимаем:

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 64 5 6 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке Экзамен 2021

#
28.01.202280.71 Кб143tasks_done_v2.docx
#
28.01.2022280.74 Кб254tasks_done_v2.pdf
#
28.01.2022159.38 Кб33Вопросы к экзамену по АСП 2021.pdf
#
28.01.20221.34 Mб200Панков Пособие по АСП.pdf
#
28.01.20221.04 Mб66Панков Пособие по ТВиМС часть 1.pdf
#
28.01.2022730.29 Кб38Панков Пособие по ТВиМС часть 2.pdf
#
28.01.2022668.14 Кб202Панков Практикум по АСП 21.05.pdf