ЛЕКЦИЯ 5. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ КОШИ.
ЛИТЕРАТУРА. Учебник [1] Глава 14. §14.2,14.7
§ 5.1 Построение методов на основе квадратурных формул.
Рассмотрим задачу Коши.
при (5.1)
Проинтегрируем уравнение на отрезке :
Вычислить интеграл, стоящий в правой части невозможно, так как функция f(t,y) содержит неизвестную функцию y(t). Для вычисления интеграла воспользуемся квадратурными формулами.
1. Применим формулу левых прямоугольников:
Или:
Получили метод Эйлера. Перепишем его в каноническом виде:
Метод 1-го порядка точности по h.
2. Применим метод центральных прямоугольников:
Так как значение неизвестно, то для его нахождения выполним полшага методом Эйлера:
Тогда расчетная формула примет вид:
Получили расчетную формулу усовершенствованного метода Эйлера.
В канонической форме метод примет вид:
Получили метод 2-го порядка точности по h .
3. Применим формулу правых прямоугольников:
Или:
Получили неявный метод Эйлера. В правую часть уравнения входит неизвестное значение .
Перепишем его в каноническом виде:
Метод 1-го порядка точности по h.
4. Применяя метод трапеций можно получить метод Эйлера-Коши или правило трапеций.
Метод 2-го порядка точности по h. .
Можно получить также классический метод Рунге-Кутты 4-го порядка точности, применяя формулу Симпсона:
Для вычисления неизвестных значений
,
Выполним следующее:
,
Затем, используя это значение, вычислим:
Тогда формула Симпсона примет вид:
Получили метод 4-го порядка точности по h
Рассмотрим как можно реализовать неявный метод Эйлера.
ПРИМЕР 5.1.Дана задача Коши:
Найти решение задачи в двух последующих точках 0.1 и 0.2.
Выберем шаг h=0.1 и запишем расчетные формулы неявного метода Эйлера:
Можно реализовать алгоритм в виде прогноза-коррекции:
прогноз делаем по явному методу Эйлера, коррекцию – по
неявному методу.
Расчеты:
ОТВЕТ: , ,
§5.2. Определения погрешностей. Аппроксимация и сходимость
ЧИСЛЕННОГО МЕТОДА.
Запишем метод Эйлера и метод Тейлора в т.н. канонической форме:
Метод Эйлера:
Метод Тейлора:
Можно считать, что левая часть методов представляет собой аппроксимацию производной, правая часть – аппроксимацию правой части уравнения задачи Коши.
Заметим, что оба метода являются явными одношаговыми методами. В более общей
форме будем записывать явные одношаговые методы так:
(5.1)
Далее будем изучать более сложные методы: явные k-шаговые и неявные k-шаговые методы.
Для k- шагового метода будем считать, что известны значения
Тогда каноническая форма явного k-шагового метода примет вид:
(5.2)
известны.
Каноническая форма неявного k-шагового метода имеет вид:
(5.3)
известны.
Выражение (5.3) отличается от (5.2) тем, что и в левую, и в правую части входит неизвестное значение .
ОПР. Будем называть задачу (5.3) k -шаговым неявным разностным методом или дискретной задачей Коши в канонической форме.
ОПР. Будем называть погрешностью сеточную функцию со значениями в узлах равными
Напомним, что - приближенное решение задачи, а - точное решение задачи в точке .
ОПР. В качестве меры погрешности метода примем величину
называемую глобальной погрешностью.
ОПР. Будем говорить, что метод сходится с p-ым порядком точности по h, если справедливо неравенство: , где c – константа, не зависящая от h.
ОПР. Пусть y(t) – решение задачи Коши. Назовем сеточную функцию , определяемую
формулой
(5.4)
Погрешностью аппроксимации на решении y(t).
Замечание. Из определения следует, что функция y(t) удовлетворяет уравнению (5.4) с
точностью до погрешности аппроксимации.
Сеточную функцию используют для предварительной оценки того, насколько точно
аппроксимируется дифференциальное уравнение сеточным аналогом.
ОПР. Говорят, что разностное уравнение аппроксимирует исходное дифференциальное уравнение с p-ым порядком, если , p>0
ПРИМЕР. Найдем погрешность аппроксимации метода Эйлера.
Теперь оценим . Обозначим через . Тогда очевидно, что
справедлива оценка : . Таким образом, метод Эйлера имеет первый порядок аппроксимации по h.