ИПР 2 Т
.pdf1
Министерство образования Республики Беларусь Учреждение образования
«Белорусский Государственный университет информатики и радиоэлектроники»
Индивидуальная практическая работа№2 по дисциплине
Теория вероятностей и математическая статистика
Выполнил:Назаров .Н Группа 910901
2021
2
Задача № 5 (33)
Дискретная случайная величина Х может принимать одно из пяти фиксированных значений x1, x2, x3, x4, x5 с вероятностями p1, p2, p3, p4, p5 соответственно. Вычислить математическое ожидание и дисперсию величины Х. Рассчитать и построить график функции распределения.
x1 |
x2 |
x3 |
x4 |
x5 |
p1 |
p2 |
p3 |
p4 |
p5 |
-4 |
-3 |
-1 |
0 |
1 |
0.2 |
* |
0.2 |
0.1 |
0.4 |
Решение.
Поскольку |
|
pi |
1, то 0,2 p2 0,2 0,1 0,4 1 p2 0,1 |
|||||||
Математическое ожидание найдём по формуле: |
||||||||||
M (x) xi |
pi 4 0, 2 3 0,1 1 0, 2 0 0,1 1 0, 4 0,9 |
|||||||||
Дисперсию D(x) найдём по формуле: |
|
|
||||||||
D(x) M (x |
2 |
|
) |
(M (x)) |
2 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
i |
i |
|
|
|
|||
M (x |
2 |
) |
|
x |
2 |
p 16 0, 2 9 0,1 1 0, 2 0 0,1 1 0, 4 4,7 |
||||
|
|
|
||||||||
Таким образом, |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
D(x) 4,7 0,9 |
2 |
3,89 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Функция распределения дискретной случайной величины имеет вид:
F (x) P( X xk ) |
|
|
|
|
|
|
||||
|
x |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Если |
x 4 |
, то |
F (x) P( X xk ) 0 |
|
|
|||||
|
|
|
xk 4 |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
k |
|
|
||
Если |
4 x 3 |
, то |
F (x) |
|
|
P( X x ) P(x 3) |
0, 2 |
|||
|
|
|
|
x |
3 |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
k |
|
|
|
|
Если |
|
|
|
|
|
|
|
3 x 1 |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
F (x) P( X xk ) P(x 3) P(x 1) 0,2 0,1 0,3
|
|
xk 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Если |
1 x 0 |
, то |
F (x) |
P( X xk ) 0,5 |
||||||
|
|
|
|
|
xk |
0 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
|
|
Если |
0 |
x 1 |
, то |
F (x) |
|
|
P( X x ) |
0,6 |
||
|
|
|
|
x |
1 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
k |
|
|
|
Если x 1, то F (x) 1
Получим:
то
3
0 |
x 4 |
||
|
0,2 |
4 x 3 |
|
|
|||
|
|
||
0,3 |
3 x 1 |
||
F (x) |
0,5 |
-1 x 0 |
|
|
|||
|
|
||
0,6 |
0 x 1 |
||
|
|
x 1 |
|
1 |
|||
|
|
|
Построим график функции распределения:
4
Задача № 6 (33)
Случайная величина Х задана плотностью вероятности
0, |
x a, x b, |
|
f (x) |
|
a x b. |
(x,c), |
||
|
|
|
Определить константу С, математическое ожидание, дисперсию, функцию
распределения величины Х, а также вероятность ее попадания в интервал |
|||||||
, . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
φ(x,c) |
a |
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
c sin(x) |
0 |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
Решение.
Вначале вычислим значение константы с из условия нормировки. Условие нормировки представляет собой интегральное уравнение, из которого можно определить неизвестный параметр плотности вероятности. Для этого определим значение интеграла в левой части условия нормировки:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
f (x)dx csin xdx c cos x |
0 |
c(cos cos 0) 2c |
||||
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
. |
Из условия нормировки следует: |
|||||||
2c 1 c |
1 |
|
|
||||
2 |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Плотность вероятности примет вид: |
|||||||
|
0 |
|
|
x 0 |
|
|
|
f (x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
sin x |
0 x |
|
|
||
|
|
|
|
|
|||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
Математическое ожидание найдём по формуле:
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
x |
|
|
|
dx |
|
|
|
|
||
M (x) x f (x)dx |
|
|
, |
du |
, |
sin xdx dv, |
|
|||||||||||||
|
|
x sin xdx u |
|
|
|
v cos x |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
0 |
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
x |
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
sin x |
|
|
|
|
|
|
|||
|
cos x |
cos x |
|
cos 0 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
2 |
0 |
2 |
|
2 |
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Дисперсию найдём по формуле:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
u |
|
|
, |
du |
xdx, |
sin xdx dv, |
|
||||||||
D(x) |
x |
2 |
f (x)dx (M (x)) |
2 |
|
|
x |
2 |
sin xdx |
|
|
2 |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
2 |
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
v |
cos x |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|||
|
cos x |
x cos xdx |
|
|
|
cos |
0 x cos xdx |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
0 |
4 |
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
u x, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
v sin x |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|||||||
du dx, |
cos xdx dv, |
|
x sin x |
sin dx |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 |
0 |
4 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
2 |
cos x |
|
0 |
|
4 |
|
2 |
2 |
|
4 |
0,4649 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Найдём функцию распределения:
Так как плотность вероятности задана различными формулами на разных интервалах, то и ее первообразную - функцию распределения будем искать для каждого интервала в отдельности:
Для:
x 0
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
F (x) 0dt 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Для |
0 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
0 |
|
|
|
x |
1 |
|
|
|
cost |
x |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
||
F (x) |
0dt |
|
|
sin tdt |
|
|
0 |
|
|
(cos x 1) |
|
(1 |
cos x) |
||||||||||||||
2 |
2 |
2 |
2 |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
Для: x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
0 |
|
|
|
1 |
|
|
x |
|
|
|
|
cost |
|
|
1 |
|
|
|
|
||||
|
F (x) 0dt |
sin tdt |
0dt |
|
( 1 1) 1 |
||||||||||||||||||||||
|
2 |
|
|
|
0 |
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
Получим: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0, |
|
|
|
|
|
х 0 |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cos x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
, |
0 x |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
F (x) |
|
|
2 |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1, x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вычислим вероятность |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 cos( / 2) |
|
1 cos(0) |
|
|
||||||||||||
P 0 |
x |
|
F |
|
F (0) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0,5 |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
6
Задача № 7 (33)
Случайная величина Х распределена равномерно на интервале [a,b]. Построить график случайной величины Y= (X) и определить плотность вероятности g(y).
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
b |
|
|
x5 |
-2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение. |
|
|
|
|
|
Построим график функции Y x |
5 |
|
|||
на промежутке [-2;2]: |
|||||
|
|
|
|||
|
|
|
7.5 |
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
2.5 |
|
-4 |
-2 |
2 |
4 |
|
|
-2.5 |
|
|
|
-5 |
|
|
|
-7.5 |
|
Так как X равномерно распределена на [-2;2], то её плотность вероятности равна:
|
1 |
; a x b |
|
1 |
|
2 x 2 |
|
|
|
|
|
|
; |
||
|
a |
|
|||||
f (x) b |
|
|
4 |
|
|
||
|
|
x a, x b |
|
|
|
x 2, x 2 |
|
0; |
|
0; |
Плотность вероятности g(y) величины Y определяется по формуле:
|
k |
|
|
g( y) f ( j ( y)) j |
|
( y) |
|
|
j 1 |
|
|
где |
f ( j ( y)) - плотность вероятности Х, |
||
j ( y) - функция, обратная Y, |
к– число обратных функций для Y.
В зависимости от числа обратных функций выделим следующие интервалы:
; 32 32; к=0
7
32;32
к=1
( y) |
5 |
y |
|
|
Таким образом, на[ g( y) f 5 y 5 y
Окончательно,
32;32] |
имеем: |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
1 |
|
|
1 |
y 4 / 5 |
|
1 |
|
|
|
|
||||
4 |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
20 5 y4 |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
0, |
; 32 32; |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
g( y) |
|
|
|
|
|
, y 32;32 |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
5 y |
4 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
20 |
|
|
|
|