2.8. Закон збереження момента імпульсу

2.8.1. Розглянемо систему, що складається із двох матеріальних точок масами m₁ і m₂ Ці точки взаємодіють між собою із силами , , а також знаходяться у полі зовнішньої сили: , – зовнішні сили.

Рис. 2.8

Запишемо рівняння другого закону для двох точок:

| ,

| .

В екторно помножимо перше рівняння на радіус вектор першої точки , а друге – на радіус вектор другої точки :

,

.

Додамо ці два рівняння, перед тим представивши ліві частини обох рівнянь як першу похідну за часом від такого векторного добутку:

.

Тут перший векторний добуток дорівнює 0, оскільки (див. п. 1.9.2). Така заміна справедлива і для другого рівняння. Отже, після додавання отримаємо:

. (2.23)

За третім законом Ньютона

,

тому два доданки у правій частині (2.23) взаємно знищаться:

,

оскільки вектори і колінеарні.

Якщо ввести такі позначення:

, , , ,

то формулу (2.23) можемо записати у вигляді

. (2.24)

Коли зовнішні сили не діють (F₁=F₂=0, і як наслідок N₁=N₂=0), то вираз (2.24) набуває вигляд

.

А раз похідна від величини дорівнює нулю, то сама величина не змінюється з часом:

. (2.25)

2.8.2. Величина, яка дорівнює векторному добутку радіус-вектора матеріальної точки (частинки) на її імпульс:

,

називається моментом імпульсу частинки відносно точки (початку системи координат).

2.8.3. Величина, яка дорівнює векторному добутку радіус-вектора матеріальної точки (частинки) на силу, яка діє на неї:

,

називається моментом сили відносно точки (початку системи координат), що діє на частинку. Момент сили характеризує здатність сили обертати тіло навколо точки, відносно якої він береться.

Моменти імпульсу та сили – адитивні величина: момент імпульсу (сили) системи матеріальних точок є сумою моментів імпульсу (сили) кожної частинки.

Вираз (2.25) є математичним записом закону збереження момента імпульсу для системи двох матеріальних точок.

2.8.4. Закон збереження момента імпульсу: якщо на систему матеріальних точок не діють моменти зовнішніх сил, то сумарний момент імпульсу системи матеріальних точок не змінюється:

. (2.26)

2.8.5. Проекція вектора момента імпульсу матеріальної точки на деяку вісь z є скалярною величиною, яка називається моментом імпульсу матеріальної точки відносно осі z. Позначають:

,

де φ – кут між вектором і віссю z.

2.8.6. Момент сили відносно осі – це скалярна величина, яка дорівнює проекції вектора на вісь z:

,

де φ – кут між вектором і віссю z.

2.8.7. Приклади

Рис. 2.9

1. Момент імпульсу точки маси , яка рухається по колу радіусу r.

Момент імпульсу частинки відносно центра кола О дорівнює за модулем:

M = m v R.

Вектор перпендикулярний до площини кола. Напрям вектора і напрямок руху частинки утворює правогвинтову систему. При рівномірному русі частинки по колу момент імпульсу залишається постійним і за модулем, і за напрямком.