3. Раскройте понятие интерполяции. Изложите способ построения сплайна 3-й степени.

Интерполяция – это операция приближения функции, заданной в отдельных точках внутри некоторого заданного промежутка.

Способ построения сплайна 3-го порядка:

1. Задаём по формуле .

2. Все остальные определяем по формуле .

3. Составляем систему уравнений из и , , а так же уравнения значений спроецированных на концах отрезка

4. Из системы уравнений находим все константы, подставляем в полиномы и получаем ответ.

4. Изложите способ численного интегрирования, известный как метод трапеций.

Интеграл можно представить, как криволинейную трапецию. Соответственно этот метод предполагает собой разбиение её на несколько частей, нахождение их площадей и их сложение. При чем на чем большее число частей мы разобьём трапецию, тем точнее ответ у нас получится.

Разбиваем отрезок интегрирования на n частей, длинной , где , а . Находим значения y на границах интервалов. Подставляем полученные значения в формулу .

5. Изложите способ численного интегрирования, известный как метод Симпсона.

Данный метод базируется на разбиении общего интервала интегрирования на более мелкие отрезки. Для вычисления площади через каждые три последовательные координаты разбиения проводится квадратная парабола.

Разбиваем отрезок интегрирования на чётные n частей, длинной , где , а . Находим значения y на границах интервалов. Подставляем полученные значения в формулу:

6. Изложите способ численного решения дифференциального уравнения, известный как метод Эйлера.

Метод Эйлера заключается в том, что мы заменяем исходное дифуравнение заменяется на в явном виде и в неявном виде. Пользуясь этим методом, мы получаем приближенные значения , так как производная на самом деле не остается постоянной на промежутке длиной . Поэтому мы получаем ошибку в определении значения функции , тем большую, чем больше . Метод Эйлера является простейшим методом численного интегрирования дифференциальных уравнений и систем. Его недостатки – малая точность и систематическое накопление ошибок.

7. Изложите способы численного решения дифференциального уравнения, известные как модифицированный метод Эйлера и метод Рунге-Кутта.

Модифицированный метод Эйлера строится в 2 этапа:

Его суть в том, что сначала находят так называемое «грубое приближение»:

а затем пересчетом получают тоже приближенное, но более точное значение:

.

Фактически пересчет позволяет учесть, хоть и приблизительно, изменение производной на шаге интегрирования. Модифицированный метод Эйлера в сути

Метод Руне-Кутта описывается системой из n уравнений, усредняющих производную.

8. Изложите способ решения дифференциального уравнения, известный как проекционный метод (метод Галеркина).

Идея метода Галёркина заключается в том, чтобы решение данного уравнения представить в виде линейной комбинации и некоторых базисных функций. В данном методе функция представлена в непрерывной зависимости от x.

Наиболее часто в данном методе используются следующие наборы базисных функций:

1. Полиномы:

2. Гармонический:

От необходимой точности выражаем базисную функию .

Дальше находим невязку , с подстановкой базисных функций. После решаем систему уравнений найденных из выражения . Ответом будет с подстановкой .