Расчет интерференционной картины.
Пусть в некоторую точку А одновременно приходят две световые волны от когерентных источников света S1 и S2, световые векторы которых колеблются в одной плоскости (рис. 3.2.1).
Рис. 3.2.1.
Пусть источники начинают излучать одновременно, а амплитуды волн равны. Тогда уравнения волн можно записать следующим образом:
где α1 и α2зависят от начальной фазы φ1 и φ2 и расстояний х1 и х2.
Складывая эти выражения, можно доказать, что результирующая величина Ер в точке А будет равна:
Ер=Е1 +Е2=
.
ВеличинаE0р= не зависит от времени и является амплитудой суммарного колебания в точке А. Амплитуда равна нулю, если: ,
∆α = α2 – α1 =± (2m+1)π.
Тогда разность хода этих волн, которая определяет положение этих точек в пространстве:
,
где m = 0, 1, 2…. - любое целое число, которое называется порядком интерференции, а означает нечетное число. х1 и х2 – геометрические пути световых волн от источников света S1и S2 соответственно, до произвольной точки А (рис. 3.2.1).
Таким образом, если в произвольной точке пространства разность фаз волн равна нечетному числу π, а оптическая разность хода накладываемых волн равна нечетному числу полуволн, то в ней наблюдается минимум интерференции. Условия:
есть условия интерференционного минимума.
Если , что возможно приаргументе косинуса
или ,
то амплитуда светового вектора для данной точки будет в любой момент времени равна 2Е0. Определим положение этих точек:
.
Таким образом, если в произвольной точке пространства разность фаз волн равна четному числу π ,а оптическая разность хода накладываемых волн равна четному числу полуволн или целому числу длин волн, то в ней наблюдается максимум интерференции. Условия:
есть условия интерференционного максимума.
Если амплитудные значения светового вектора не равны друг другу, т.е. Е01 ≠ Е02, то квадрат результирующей амплитуды определяется по формуле:
Е2= Е012 + Е022 + 2Е01Е02cos (α2 – α1),
1
где (α2 – α1) – разность фаз колебаний. Поскольку интенсивность света I пропорциональна квадрату амплитудного значения Е, то
.
В точках пространства, где cos(α2 – α1)> 0, результирующая интенсивность I>I1 + I2.
Если cos(α2 – α1)<0, то результирующая интенсивность I<I1 + I2.
Таким образом, мы наблюдаем перераспределение интенсивности и интерференционную картину.
Метод Юнга. Получение интерференционной картины.
Как уже отмечалось, когерентных источников света в природе не существует. Однако когерентные световые волны можно получить, если свет, идущий от одного источника, разделить на две (или более) части и затем заставить их встретиться. Так как лучи будут получены из одного, то они будут когерентными и при наложении будут интерферировать. Такое разделение может быть осуществлено с помощью экранов и щелей (метод Юнга), зеркал Френеля и преломляющих бипризм Френеля.
В начале 19 века (1803г.) английский физик Юнг с помощью двух щелей получил на экране интерференционную картину. Его опыт заключался в следующем: источником света служила ярко освещенная щель S, от которой световая волна падала на две узкие равноудаленные щели S1 и S2, параллельные S (рис. 3.2.2.а). Щели S1 и S2 можно считать когерентными источниками света, а все три упомянутые щели можно рассматривать как точечные источники, свет от которых распространяется во всех направлениях. Волны, идущие от S1 и S2, накладываясь друг на друга, интерферируют. Интерференционная картина наблюдается на экране Э (рис. 3.2.2.б,в).
Рис.3.2.2
Обозначим расстояние между щелями S1 и S2 равным d, а между щелями и экраном - L, причем L » d(рис. 3.2.2 а). Точка О – центр экрана, она расположена симметрично относительно щелей S1 и S2. Результат интерференции волн в произвольной точке экрана М, находящейся на расстоянии х от его центра О, должен определяться разностью хода Δl= l2- l1. Математический расчет дает для разности хода Δl = хd/L. В тех местах экрана, которые удовлетворяют условию , (рис. 3.2.2 а, в) образуется интерференционный максимум. Отсюда
В тех местах экрана, где , (рис. 3.2.2 а, в) волны “гасят” друг друга и образуется интерференционный минимум. Отсюда
.
Шириной интерференционной полосы Δх называется расстояние между соседними максимумами или минимумами
.
Величина Δх постоянна при заданных d, L и λи не зависит от порядка интерференции m. Таким образом, при освещении щелей монохроматическим светом на экране наблюдается чередование светлых и темных полос одинаковой ширины (рис.3.2.2. б). Чтобы полосы были хорошо различимы, Δх должна быть порядка 5 мм, тогда при λ = 500 нм отношение L/d равно 10000, т.е. выполняется условие L » d.
При освещении щелей белым светом интерференционные максимумы становятся радужными. Это происходит из-за того, что положение интерференционного максимума зависит от длины волны падающего света, а белый свет содержит в себе все цвета спектра. Максимумы коротких длин волн (фиолетовых) будут располагаться ближе к центру экрана, за ними следуют максимумы синих длин волн и т.д. до самых длинных красных (рис. 3.2.2.в). В середине экрана при m = 0 максимумы всех волн совпадут из-за отсутствия разности хода и получится белая полоса.
На рис.3.2.2.г) представлена не расчетная, а реальная картина зависимости интенсивности света от координаты х на экране для монохроматического света. При переходе от центра экрана к его краям интенсивность уменьшается, так как сказывается не когерентность различных точечных излучателей щелей S1 и S2, что приводит к размытости положений максимумов.
В настоящее время высокая степень когерентности световых лучей достигается с помощью лазеров.