Лекция 13

Прямоугольник представляет исследуемый объект или его математическую модель.

xi - значения факторов,

ξ - случайный фактор, помеха. Будем считать, что эта случайная величина имеет нормальное распределение с математическим ожиданием равным нулю.( атемати еское о идание – среднее значение случайной величины при стремлении количества выборок или количества её измерений (иногда говорят – количества испытаний) к бесконечности.) Влияние помехи на отклик аддитивное, то есть ее случайные значения прибавляются к значениям отклика;

у - искомая функциональная зависимость между факторами и откли-

ком.

Регрессионный анализ – это инструмент для количественного определения значения одной переменной на основании другой.

13. 2 Эмпири еские функции регрессии

Парная (простая) линейная регрессия даёт нам правила, определяю-

щие линию регрессии, которая лучше других предсказывает наиболее вероятные значения одной переменной на основании другой (переменных всего две).

По оси Y располагают переменную, которую необходимо предсказать (зависимую), а по оси Х – переменную, на основе которой будет осуществляться предсказание (независимую).

Зависимая переменная – это переменная в регрессии, которую нельзя изменять, её изменение является следствием влияния независимой переменной (переменных).

Независимая переменная – это та переменная в регрессии, которую можно изменять.

Коэффициенты регрессии – это коэффициенты, которые рассчитываются в результате выполнения регрессионного анализа. Вычисляются величины для каждой независимой переменной, которые представляют силу и тип взаимосвязи независимой переменной по отношению к зависимой.

Важным этапом регрессионного анализа является определение типа функции, с помощью которой характеризуется зависимость между признаками. Наиболее часто для характеристики связей экономических показателей используют следующие типы функций: линейная, гиперболическая, показательная, логарифмическая, параболическая или степенная функции.

Наиболее часто при проведении исследований встречаются линейные, параболические, гиперболические, степенные, экспоненциальные зависимости (рисунок 13.2).

Рисунок 13.2 – Виды аналитических зависимостей

Парная (простая) линейная регрессия

yi bxi a

Yi – зависимая переменная Xi – независимая переменная

a – константа, определяет точку пересечения прямой с осью Y.

b – угловой коэффициент, характеризует наклон прямой. Коэффициент регрессии b показывает, на какую величину в среднем изменится результативный признак Yi, если переменная Xi увеличится на единицу своего измерения.

Построение оценки для функции f (x) существенно упрощается, если функция f (x) допускает параметризацию, т.е. зависит от набора коэффициен-

тов (параметров), которые и необходимо определить. На практике в качестве функции f (x) для парной регрессии используются следующие виды функций (таблица 13.1).

Таблица 13.1 – Виды функций регрессии

Таким образом, задача регрессионного анализа сводится к определению коэффициентов а и b

Возникает вопрос: какой тип функции взять? Для ответа на этот вопрос используют следующие подходы.

1 Аналити еский.

Анализируется априорная информация о содержательной экономической сущности исследуемой зависимости. На основе этого анализа выбирается подходящий вид функции f(x).

Например, для шахт другого угольного района было установлено, что зависимость между производительностью шахтера и толщиной угольного пласта является линейной. Поэтому в качестве функции f(x) для примера

2.1.1также можно принять линейную функцию f (x) 0 1 x.

2 Графи еский.

Вдекартовой системе координат строят n точек с координатами (xi, yi), определяемыми заданной пространственной выборкой. Построенная диаграмма называется диаграммой рассеяния (или полем корреляции). Затем на основе визуального анализа расположения точек принимают решение о типе функции f(x).

Заметим, что из-за наличия случайной составляющей εi , значения yi имеют определенный разброс и не нужно подбирать f(x), проходящую через все точки (тем самым возмущение ε было бы включено в функцию регрессии f (x) ). Необходимо, чтобы f (x) в «равной степени близости» проходила около всех точек диаграммы рассеяния.

3 Экспериментальный.

Для нескольких наиболее подходящих функций регрессий строятся соответствующие уравнения регрессии (т.е. вычисляются коэффициенты уравнения регрессии). Выбор «наилучшего» уравнения осуществляется путем сравнения некоторых показателей, характеризующих близость уравнения регрессии к заданным значениям yi .

Однако, при таком выборе вида регрессии необходимо помнить о приведенном ниже принципе минимальной сложности. В силу своей трудоемкости экспериментальный метод подразумевает применение вычислительной техники и соответствующего программного обеспечения (например, табличного процессора Excel).

Принцип минимальной сложности можно сформулировать следующим образом: при наличии нескольких альтернативных функций f (x) первоначально принимают самую простую (линейную) и, если она не адекватна заданной выборке, то переходят к более сложной функции f (x) .

13.3 етод наименьших квадратов ( НК)

Для определения наилучшей линии регрессии применяют метод наименьших квадратов (МНК), т.е.– подбирают такую линию регрессии чтобы общая сумма квадратов отклонений значений зависимой переменной была наименьшей. Другими словами в МНК критерием оптимизации служит условие

n

S(а,b) ( yi (bxi a))2

i 1

Найденные из этого условия коэффициенты a и b обеспечивают минимальные отличия значений функции yi bxi a от наблюдаемых ординат yi.

Чем больше абсолютное значение коэффициента регрессии, тем значительнее влияние факторного признака на результативный признак.

Знак коэффициента регрессии говорит о характере влияния на результативный признак. Если коэффициент регрессии имеет знак плюс, то с увеличением фактора результатный признак возрастает. Если коэффициент регрессии имеет знак минус, то с его увеличением результативный признак уменьшается.

13.4 Алгоритм определения параметров эмпири еской формулы методом наименьших квадратов в Excel

1. Перенести в таблицу Excel результаты экспериментальных данных и построить точечный график для определения вида уравнения регрессии (рисунок 13.3).

Рисунок 13.3 – Построение графика экспериментальных данных

2.Включить в Excel надстройку “Поиск решения”.

3.Выделить в Excel ячейки для постоянных коэффициентов регрессии и записать само уравнение регрессии используя относительные (для xi) и абсолютные (для a и b) ссылки (рисунок 13.4).

Рисунок 13.4 – Заполнение таблицы Excel

6 Сохраняем полученное решение (рисунок 13.7).

Рисунок 3.7 – Сохранение решения

7. Добавить на область Диаграммы полученную теоретическую линию регрессии (рисунок 13.8).

Рисунок 13.8 – Результаты построения линейной регрессии

8. Проверить квадратичную зависимость (см. п. 3-7) (рисунок 13.9)

Рисунок 13.9 – Результаты построения параболической регрессии

13.5 Определение уравнений регрессии с помощью функций Excel

Так как задача отыскания регрессионной зависимости очень важна, в Excel введен набор функций, которые позволяют решать эту задачу. Эти функции основаны на методе наименьших квадратов. В качестве результата выдаются не только коэффициенты аппроксимирующей функции, но и статистические характеристики полученных результатов.

ВExcel имеется несколько функций для построения линейной регрессии,

вчастности: ЛИНЕЙН, НАКЛОН и ОТРЕЗОК.

А также несколько функций для построения экспоненциальной линии тренда, в частности: РОСТ, ЛГРФПРИБЛ.

Достоинствами инструмента встроенных функций для регрессионного анализа являются:

достаточно простой однотипный процесс формирования рядов данных исследуемой характеристики для всех встроенных статистических функций;

стандартная методика построения линий тренда на основе сформированных рядов данных;

возможность прогнозирования поведения исследуемого процесса на необходимое количество шагов вперед или назад.

А к недостаткам относится то, что в Excel нет встроенных функций для создания других (кроме линейного и экспоненциального) типов линий тренда. Это обстоятельство часто не позволяет подобрать достаточно точную мо-

дель исследуемого процесса, а также получить близкие к реальности прогнозы.

Функция ЛИНЕЙН

Функция ЛИНЕЙН вычисляет коэффициенты а и b прямой линии y=ax+b, которая наилучшим образом аппроксимирует имеющиеся данные, а также дополнительную регрессионную статистику. Функция возвращает массив данных, который описывает полученную прямую. Синтаксис функции:

ЛИНЕЙН(известные_y, [известные_x], [константа], [статистика])

Известные_y. – Обязательный аргумент. Множество значений y, которые уже известны для соотношения y=ax+b.

Известные_x. Необязательный аргумент. Множество значений x, которые уже известны для соотношения y=ax+b

Константа. Необязательный аргумент. Логическое значение. Если аргумент Константа = 0, то b принудительно полагается равным нулю,

т.е. y=ax.

Статистика. Необязательный аргумент. Логическое значение. Если аргумент Статистика = 0 или опущен, то вычисляются только коэффициенты a и b, а если = 1, то выдаются дополнительные статистические характеристики.

На рисунке 13.10 показан пример использования функции ЛИНЕЙН для решения задач.

Рисунок 13.10 – Пример использования функции ЛИНЕЙН