- •Лекция 4
- •Глава 3 Прямая на плоскости
- •3.1. Понятие уравнения линии
- •3.2. Уравнение прямой в общем виде
- •3.3. Каноническое и параметрические уравнения прямой
- •3.4. Уравнение прямой с угловым коэффициентом
- •3.5. Угол между двумя прямыми
- •3.6. Нормированное уравнение прямой. Расстояние от точки до прямой
3.6. Нормированное уравнение прямой. Расстояние от точки до прямой
П усть задана декартова система координат , - произвольная прямая (рис. 3.14). Проведем через прямую , , точку пересечения с обозначим .
Рассмотрим вектор : приложен к точке , , направление совпадает с направлением вектора (если , направление выберем произвольно). Обозначим через угол наклона к оси . Тогда . Длину обозначим через : . Имеем
; (3.19)
; (3.20)
. (3.21)
Из (3.19), (3.20) и (3.21) получим: или
. (3.22)
Уравнение (3.22) называется нормированным уравнением прямой ( - угол наклона вектора , ) к оси , - расстояние от начала координат до ).
Приведем без доказательства следующее утверждение.
Теорема 3. Расстояние от точки до прямой равно абсолютной величине результата подстановки координат этой точки и в левую часть нормированного уравнения прямой :
.
Замечание. Если прямая задана общим уравнением
, (3.23)
то для перехода к уравнению вида (3.22) нужно обе части (3.23) умножить на нормирующий множитель . Знак выбирается противоположным знаку в (3.23).
В самом деле, пусть уравнения и определяют одну и ту же прямую . Тогда (см. замечание в 3.2) существует такое число , что , , , а .
Из равенства следует, что знаки и противоположны ( ).
Пример 4. Найти расстояние от точки до прямой .
Имеем . Нормированное уравнение заданной прямой:
,
.