Это был пример, когда в одном испытании задействовано несколько объектов, в данном случае две монеты. Другая распространенная в практических задачах схема – это повторные испытания, когда, например, один и тот же игральный кубик бросается 3 раза подряд. В качестве демонстрации рассмотрим следующие события:

B(1) 4 – в 1-м броске выпадет 4 очка;

B(2)5 – во 2-м броске выпадет 5 очков;

B(3)6 – в 3-м броске выпадет 6 очков.

Тогда событие B(1)4 B(2)5 B(3)6 состоит в том, что в 1-м броске выпадет 4 очка и во 2-м броске выпадет 5 очков и в 3-м броске выпадет 6 очков.

…понимаю, что разбираются не очень интересные примеры, но это часто встречающиеся в задачах вещи и от них никуда не деться. Помимо монетки, кубика и колоды карт вас поджидают урны с разноцветными шарами, несколько стрелков, стреляющих по мишени, и неутомимый рабочий, который постоянно вытачивает какие-то детали =)

 Вероятность события

Вероятность события – это количественная мера возможности наступления этого события в результате испытания. В курсе тервера существует несколько подходов к определению вероятности, но пока мы ограничимся её интуитивным понятием и общей информацией.

Обозначения: вероятность некоторого события A обозначается большой латинской буквой P , а само событие берётся в скобки, выступая в роли своеобразного аргумента. Например:

P( AO ) – вероятность того, что в результате броска монеты выпадет «орёл»; P(B5 ) – вероятность того, что в результате броска кубика выпадет 5 очков;

P(CT ) – вероятность того, что из колоды будет извлечена карта трефовой масти.

Также для обозначения вероятности широко используется маленькая буква p . В частности, можно отказаться от громоздких обозначений событий AO , B5 , CT и их вероятностей P(AO ), P(B5 ), P(CT ) и использовать следующую стилистику:

pO 12 – вероятность того, что в результате броска монеты выпадет «орёл»;

p5 16 – вероятность того, что в результате броска игральной кости выпадет 5

очков;

pT 14 – вероятность того, что из полной колоды будет извлечена трефа.

Данный вариант популярен при решении практических задач, поскольку позволяет заметно сократить запись решения. Как и в первом случае, здесь удобно использовать «говорящие» подстрочные / надстрочные индексы.

Вероятности можно выразить и в процентах, например: вероятность выпадение орла равна 12 100% 50% , выпадения пятёрки 16 100% 16,67% , извлечения трефы

14 100% 25% , но в теории вероятностей ЭТОГО ДЕЛАТЬ НЕ ПРИНЯТО (хотя не возбраняется прикидывать проценты в уме).

Принято использовать доли единицы, и, очевидно, что вероятность может изменяться в пределах…. При этом если P( A) 0 , то событие A является невозможным,

если P( A) 1 – достоверным, а если 0 P( A) 1, то речь идёт о случайном событии.

Если в ходе решения любой задачи у вас получилось какое-то другое значение вероятности – ищите ошибку!

 Принцип практической невозможности маловероятных событий

Особый интерес представляют события, вероятность наступления которых чрезвычайно мала. Хоть такие события и являются случайными, для них справедлив следующий постулат: в отдельно взятом испытании маловозможное событие практически достоверно не произойдёт. Именно поэтому вы не сорвёте в лотерее Джекпот, если вероятность это события, скажем, равна 0,00000001. Да-да, именно Вы – с единственным билетом в каком-то конкретном тираже. Впрочем, и с 10 билетами тоже.

…когда я рассказываю об этом окружающим, то почти всегда в ответ слышу: «но ведь кто-то выигрывает». Хорошо, тогда давайте проведём следующий эксперимент: пожалуйста, сегодня или завтра купите билет любой лотереи (не откладывайте!). И если выиграете... ну, хотя бы 10 килорублей, обязательно отпишитесь – и я объясню, почему это всё-таки произошло. За процент, разумеется 

Но грустить не нужно, потому что есть противоположный принцип: если вероятность некоторого события очень близка к единице, то в отдельно взятом испытании оно практически достоверно произойдёт. Поэтому перед прыжком с парашютом не надо бояться, наоборот – улыбайтесь! Ведь должны сложиться совершенно немыслимые и фантастические обстоятельства, чтобы отказали оба исправных парашюта.

 Сумма вероятностей событий, которые образуют полную группу,

равна единице. Это теорема. Грубо говоря, если события образуют полную группу, то со 100%-ной вероятностью какое-то из них произойдёт. В самом простом случае полную группу образуют противоположные события, например:

AO – в результате броска монеты выпадет орёл;

AO – в результате броска монеты выпадет решка.

По теореме: P( AO ) P( AO ) 1

Поскольку данные события равновозможны, то их вероятности одинаковы

P( AO ) 12 , P( AO ) 12 , и по этой причине такие события называют равновероятными.

Рассматриваемая теорема удобна тем, что позволяет быстро найти вероятность противоположного события. Так, если известна вероятность P(B5 ) 16 того, что на кубике

выпадет пятёрка, то из суммы P(B5 ) P(B5 ) 1 легко выразить и вычислить вероятность того, что она не выпадет: P(B5 ) 1 P(B5 ) 1 16 56

Это гораздо проще, чем копаться в элементарных исходах и их вероятностях, для которых, к слову, данная теорема тоже справедлива:

…

События B1, B2 , B3 , B4 , B5 , B6 , как отмечалось выше, равновозможны – и теперь мы можем сказать, что равновероятны. Вероятность выпадения любой грани кубика равна 16 :

P(B1 ) P(B2 ) P(B3 ) P(B4 ) P(B5 ) P(B6 ) 16

Ну и на десерт колода: поскольку нам известна вероятность P(CT ) 14 того, что будет извлечена трефа, то легко найти вероятность того, что будет извлечена карта другой

Заметьте, что рассмотренные пары событий B5 , B5 и CT , CT не равновероятны, как оно чаще всего и бывает.

В упрощенном варианте оформления вероятность противоположного события стандартно обозначается строчной буквой q . Например, если p 0,7 – вероятность того,

что стрелок попадёт в цель, то q 1 p 1 0,7 0,3 – вероятность того, что он промахнётся.

Таким образом, в теории вероятностей буквы p и q также нежелательно использовать в каких-то других целях.

Мама мыла раму

Вчесть Вашего Дня Знаний я не буду задавать домашнее задание =), но очень важно, чтобы вы могли ответить на следующие вопросы, хотя бы на уровне понимания:

Какие виды событий существуют?

Что такое случайность и равновозможность события?

Как вы понимаете термины совместность / несовместность событий? Что такое полная группа событий, противоположные события?

Что означает сложение и умножение событий?

Что такое вероятность события, и какие значения она может принимать?

Чем полезна теорема сложения вероятностей событий, образующих полную группу?

Нет-нет, зубрить ничего не надо, это всего лишь азы теории вероятностей – своеобразный букварь, который довольно быстро уложится в голове.