26. Свойства двойного интеграла.

1. Аддитивность. Если функция f(x, y), интегрируема в области D, и если область D разбивается на две связные и не имеющие общих внутренних точек области D1 и D2, то функция f(x, y) интегрируема в каждой из областей D1 и D2, причем

2. Линейное свойство. Пусть функции f(x, y) и g(x, y) интегрируемы в области D, α и β — произвольные вещественные числа. Тогда функция αf(x, y) + βg(x, y) также интегрируема в области D, причем

3. Если функции f(x, y) и g(x, y) интегрируемы в области D, то и произведение этих функций интегрируемо в D.

4. Если функции f(x, y) и g(x, y) интегрируемы в области D и всюду в этой области f(x, y) ≤ g(x, y), то

5. Если функция f(x, y) интегрируема в области D, то и функция |f(x, y)| интегрируема в области D, причем

6. Теорема о среднем значении. Если функции f(x, y) и g(x, y) интегрируемы в области D, функция g(x, y) неотрицательна (неположительна) всюду в этой области, M и m – точка верхняя и точка нижняя грани функции f(x, y) в области D, то найдется число μ∈[m,M], удовлетворяющее неравенству , и такое, что справедлива формула

7. Геометрическое свойство. равен площади области D

27. Сведение двойного интеграла к повторному. Замена переменных в двойном интеграле.

Двойные интегралы вычисляются, как правило, с помощью повторных интегралов. Правило вычисления двойного интеграла:

1. Сначала вычисляют внутренний интеграл, потом внешний.

2. Если D: , то

3. Если D: , то

Замена переменной в двойном интеграле.

Иногда удобно перейти к другой системе координат.

Это может быть обусловлено формой области интегрирования или сложностью подынтегральной функции. В новой системе координат вычисление двойного интеграла значительно упрощается.

Двойной интеграл в полярных координатах

x=r cosφ

y=r sinφ =>

r= x²+y²

,

28. Понятие о тройных интегралах.

Тройной интеграл от функции f(x;y;z) распространяется на область V – предел, соответственной трехмерной интегральной суммы.

Физический смысл

Если функция f(x;y;z) > 0, то тройной интеграл представляет массу тела, занимающего область D и имеющего переменную плотность ρ = f(x;y;z).

Если ρ = 1, то тройной интеграл представляет собой объём тела.

29. Геометрические и механические приложения тройных интегралов.

Физический смысл

Если функция f(x;y;z) > 0, то тройной интеграл представляет массу тела, занимающего область D и имеющего переменную плотность ρ = f(x;y;z).

Если ρ = 1, то тройной интеграл представляет собой объём тела.

Физические приложения тройных интегралов

① Объём тела:

②Масса тела:

③ Координаты центра масс в пространстве:

④Моменты инерции тела:

Относительно начала координат:

30. Замена переменных в тройных интегралах

При вычислении тройного интеграла переходят к цилиндрической системе координат.

x=r cosφ

y=r sinφ =>

z=z

0 ≤ z ≤ +∞

0 ≤ φ ≤ r π

-∞ < z < +∞

31. Криволинейные интегралы (понятие, привести пример).

– интегральная сумма для функции f(x;y) по кривой AB.

Если существует конечный предел интегральный суммы при стремлении к нулю наибольший из всех длин дуг, не зависящее от способа разбиение кривой AB и выбора точек M_i, то он называется криволинейным интегралом первого рода от функции f(x;y) по кривой AB.

Где s – длина дуги кривой.

Направление кривой роли не играет:

Аналогично для пространственных кривых:

Геометрический смысл

Если f (x y) ≥0, то криволинейный интеграл 1 рода численно равен S части цилиндрической поверхности, у которая направляющая k лежит в плоскости XOY, а образующие — перпендикулярны ей.

Свойства криволинейного интеграла

4. k=k1+k2, тогда

Пример