kr_int_met

∂f

~

∂f

~

∂f

~

gradf =

∂xi +

∂y j +

∂z k.

натный ортонормированный базис {~eξ, ~eη,

~eζ }, где

, ~eζ = Hζ

∂ζ ,

∂ζ ,

∂ζ ,

~eξ = Hξ

∂ξ ,

∂ξ ,

∂ξ ,

, ~eη = Hη

∂η ,

∂η

, ∂η,

1

∂x

∂y

∂z

T

1

∂x

∂y

∂z

T

1

∂x

∂y

∂z

T

~ ~

~

,

– представления базисных векторов в исходном базисе {i, j, k}, а Hξ, Hη

Hζ – коэффициенты Ламе.

по базису {~eξ, ~eη, ~eζ }:

Разложим вектор gradf

лучим:

1

∂f

∂x

∂f

∂y

∂f

∂z

=

aξ = (gradf, ~eξ) =

+

+

Hξ

∂x

∂ξ

∂y

∂ξ

∂z

∂ξ

1 ∂

f x(ξ, η, ζ), y(ξ, η, ζ), z(ξ, η, ζ)

.

= Hξ ∂ξ

Аналогичные формулы справедливы и для aη, aζ .

Таким образом,

gradf =

1

∂f

~eξ +

1

∂f

~eη

+

1

∂f

~eζ.

(5.10)

Hξ

Hη

∂ξ

∂η

Hζ

∂ζ

В частности, для полярной системы координат

∂f

1

∂f

gradf =

~eρ

+

~eϕ,

∂ρ

ρ

∂ϕ

а для сферической системы координат

∂f

1

∂f

1

∂f

gradf =

~eρ +

~eϕ

+

~eϑ.

∂ρ

ρ sin ϑ

∂ϕ

ρ

∂ϑ

криволинейных ортогональных координатах

~

~

~

~

~

Для векторного поля f = fxi + fyj + fzk величина divf определена в

п.4.4 равенством

∂fx

∂fy

∂fz

~

(5.11)

divf =

+

+

.

∂x

∂y

∂z

~

(5.12)

f = fξ(ξ, η, ζ)~eξ + fη(ξ, η, ζ)~eη + fζ (ξ, η, ζ)~eζ .

ZZZ

divf~dV = ZZ fndσ,

(5.13)

Π

Σ

как (~eξ,~k) =

∂z

> 0, то вектор ~eζ на рис.2.2 направлен 00вверх00, а внеш-

∂ζ

~

P1P2P4P3 и fn = (f, ~n+) = −fζ (ξ, η, ζ). Следовательно,

ZZ

fndσ = − ZZ

fζ dσ.

P1P2P4P3

P1P2P3P4

Параметрические уравнения P1P2P4P3 в декартовых координатах мож-

но взять в виде:

~r = ~r(ξ, η, ζ0) [x(ξ, η, ζ0), y(ξ, η, ζ0), z(ξ, η, ζ0)]T , (ξ, η) Dξη,

где Dξη =

(ξ, η) : ξ0 ≤ ξ ≤ ξ0 +

ξ,

η0 ≤ η ≤ η0 + η

. Используя эти

уравнения для вычисления поверхностного интеграла, получим:

ZZ

fndσ = − ZZDξη F (ξ, η, ζ0)dξdη,

(5.15)

P1P2P4P3

где

[~r ξ0 (ξ, η, ζ), ~r η0 (ξ, η, ζ)] .

(5.16)

F (ξ, η, ζ) = fζ (ξ, η, ζ)

Аналогично рассматривается

интеграл

по

00

верхней00

грани

P5P6P8P7. Отличие от интеграла по P1P2P4P3 только в том, что теперь

ζ = ζ0 +

ζ и нормаль ~n+ на 00верхней00 грани совпадает с вектором ~eζ (а

не противоположна ему). Поэтому

ZZ

fndσ = ZZ F (ξ, η, ζ0 +

ζ)dξdη.

(5.17)

P5P6P8P7

Dξη

ZZ

ZZ

Σ

fndσ =

Dξη

F (ξ, η, ζ0 +

ζ) − F (ξ, η, ζ0) dξdη.

(1)

ZZ

F (ξ, η, ζ0 +

ζ) − F (ζ, η, ζ0) dξdη =

Dξη

дифференцируемыми. Тогда используя теорему Лагранжа, получим равен-

ство:

∂F (ξ , η , ζ )

fndσ =

ζ| ξ η|,

∂ζ

(1)

ZZ

Σ

где ζ [ζ0, ζ0 + ζ]. Так как функция

∂F

непрерывна, то

∂ζ

∂F (ξ , η , ζ )

=

∂F (ξ0, η0, ζ0)

+ o(1)

∂ζ

∂ζ

и, значит,

∂F (ξ0, η0, ζ0)

(5.18)

fndσ =

ζ|

ξ

η| + o(Δξ η ζ).

∂ζ

(1)

ZZ

[~r

ξ0 , ~r η0 ] = HξHη,

Таким образом, из (5.16)

получаем, что

ZZ

∂

(HξHηfζ )Δζ| ξ η| + o(Δξ η ζ).

(5.19)

Σ

fndσ =

∂ζ

(1)

ZZ

∂

(HηHζ fξ)Δξ|

ζ| + o(Δξ

(5.20)

Σ

fndσ =

∂ξ

η

η

ζ),

(2)

ZZ

∂

(HξHζ fη)Δη|

η| + o(Δξ

(5.21)

Σ

fndσ =

∂η

ξ

η

ζ).

(3)

В равенстве (5.20) предполагается, что

ξ > 0, а в равенстве (5.21) – что

ξ > 0, η > 0 и

ζ > 0, и складывая равенства (5.19)–(5.21), найдем:

ZZ fndσ =

∂ξ

(HηHζ fξ) + ∂η(HξHζ fη) +

∂ζ (HξHηfζ )

ξ η ζ+

∂

∂

∂

Теперь, используя соотношения (5.13) и (5.14), получим

= HξHηHζ

divf(P )Δξ

η ζ =

∂ξ (HηHζ fξ) +

∂η(HξHζ fη) + ∂ζ (HξHηfζ )

ξ η ζ+

1

∂

∂

∂

+o(Δξ η ζ).

Разделив это равенство на ξ

η ζ и перейдя к пределу, когда

ξ → 0,

η → 0, ζ → 0 (при этом точка P переходит в точку P1), получим

равенство

(HξHζ fη) + ∂ζ (HξHηfζ ) ,

divf~ = HξHηHζ ∂ξ (HηHζfξ) + ∂η

(5.22)

1

∂

∂

∂

чим:

∂ρ(HϕHzfρ) + ∂ϕ(HρHzfϕ) + ∂z (HρHϕfz) =

divf~ = HρHϕHz

1

∂

∂

∂

= ρ ∂ρ(ρfρ) + ∂ϕ +

∂z (ρfz) =

ρ ∂ρ(ρfρ) + ρ ∂ϕ +

∂z ,

1 ∂

∂fϕ

∂

1 ∂

1 ∂fϕ

∂fz

так как Hρ = Hz = 1, Hϕ = ρ.

Для сферической системы координат:

divf~ = HρHϕHϑ

∂ρ(HϕHϑfρ) + ∂ϕ(HρHϑfϕ) + ∂ϑ(HρHϕfϑ) =

1

∂

∂

∂

= ρ2 sin ϑ ∂ρ(ρ2 sin ϑfρ) + ∂ϕ(ρfϕ) + ∂ϑ(ρ sin ϑfϑ)

=

1

∂

∂

∂

= ρ2

∂ρ(ρ2fρ) + ρ sin ϑ

∂ϕ + ρ sin ϑ ∂ϑ(sin ϑfϑ) .

1

∂

1

∂fϕ

1

∂

5.5. Представление ротора в криволинейных

ортогональных координатах

~

~

~

~

~

Для векторного поля f = fxi + fyj + fzk вектор rotf определен в п.4.6

равенством

∂f

∂f

∂f

∂f

∂f

∂f

rotf~ =

z

−

y

~i +

x

−

z

~j +

y

−

x

~k.

(5.23)

∂y

∂z

∂z

∂x

∂x

∂y

~

(5.24)

rotf = aξ~eξ + aη~eη + aζ~eζ

по базису {~eξ, ~eη, ~eζ }.

Обозначим Σ−(1) ориентированную 00грань00 P1P2P4P3 параллелепипеда

Π (рис.2.2) с нормалью ~n

−

, внутренней по отношению к Π. Напишем для

(1)

~

Σ−

и функции f теорему Стокса:

(rot

−→)

(5.25)

(f, →− ) =

I

~

d`

ZZ

~

f, dσ .

`+

(1)

Σ−

ление от P1 к P2 и далее к P4, P3.

выполнено равенство ~n

Как показано в п.5.4, на 00грани00 P

P

P

P

3

−

=

~

1

2

4

−~n+ = ~eζ и, значит, (rotf, ~n−) = aζ . Поэтому

(rotf, −→) =

(rot

−)

=

ζ

ZZ

ZZ

ZZ

~

dσ

~

dσ

a dσ.

f, ~n

Σ

(1)

Σ

(1)

Σ

(1)

По теореме о среднем для поверхностного интеграла получим

ZZ

aζ dσ = aζ (P )S1243,

Σ

(1)

где S1243 – площадь 00грани00

P1P2P4P3, а P – некоторая точка этой гра-

ни. В силу непрерывности функции aζ

справедливо равенство aζ (P ) =

дем:

−→) =

η|

| +

(5.26)

ZZ (rotf,

ζ

ξ

H

ξ η

(Δ )

.

~

dσ

a

H

o ξ η

P

P

P

P

P

P

1. Ясно, что P3RP1 (

~

f, d`

4

3 и

3

1

. Рассмотрим сначала интеграл по

3

→− ) =

~

d`

(f,

→− )

−P1RP3

P

P

. В декартовых координатах параметрическими уравнениями

кривой

1

3 являются:

~r = ~r(η) = [x(ξ0, η, ζ0), y(ξ0, η, ζ0), z(ξ0, η, ζ0)]T , η [η0, η0 + η].

Поэтому

η0+Δη

Z

~

d`

ηZ

~

dη.

f, ~r

(f, →− ) =

(

η0 )

P1P3

0

=

∂x

∂y

∂z

T

Так как ~r

η0

,

,

– касательный вектор к координтаной линии

∂η

∂η

∂η

Z

→− ) = −

η0+Δη

η( 0

0)

η( 0

0)

(5.27)

(f,

ηZ

H

dη.

~

d`

f

ξ , η, ζ

ξ , η, ζ

P3P1

0

Z

(f,

→− ) =

η0+Δη

ξ, η, ζ0)dη.

(5.28)

ηZ

fη(ξ0 + ξ, η, ζ0)Hη(ξ0 +

~

d`

P2P4

0

Складывая равенства (5.27) и (5.28), получим

Z

(f,

→− ) =

η0+Δη

G(ξ0 + ξ, η, ζ0) − G(ξ0, η, ζ0) dη,

Z

~

d`

P3P1 P2P4

η0

где G(ξ, η, ζ) = fη(ξ, η, ζ)Hη(ξ, η, ζ). По теореме о среднем

Z

(f, →− ) =

( 0 +

0) − ( 0

0)

P3P1 P2P4

~ d`

ξ, η , ζ

G ξ , η , ζ

G ξ

dη,

где η [η0, η0 +

η]. Используя теперь для функции G теорему Лагранжа,

найдем:

Z

∂G(ξ , η , ζ0)

~

d`

ξ η.

∂ξ

(f,

−→) =

Наконец, учитывая непрерывность функции G, получим равенство

Z

~

d`

∂(Hηfη)

ξ η

+

o ξ η

.

(5.29)

∂ξ

(f,

→− ) =

(Δ

)

P3P1 P2P4

Аналогично вычисляется интеграл по P1P2 P4P3:

Z

~

d`

∂(Hξfξ)

ξ η

+

o

(Δ

ξ η

.

(5.30)

∂η

(f,

→− ) =

)

P1P2 P4P3

Складывая равенства (5.29) и (5.30), находим, что

I (f, →− ) =

∂ξ (Hηfη) − ∂η(Hξfξ)

+ (Δ

)

~ d`

∂

∂

ξ

η o

ξ η .

`+

Теперь из равенств (5.25) и (5.26) следует (при

ξ > 0,

η > 0) соотноше-

ние

ξ η + o(Δξ η).

aζ HξHη ξ η = ∂ξ (Hηfη) − ∂η(Hξfξ)

∂

∂

Разделив это равенство на

ξ

η и перейдя к пределу при

ξ → 0, η → 0,

получим выражение для коэффициента aζ :

(5.31)

aζ = Hξ1Hη

∂ξ

(Hηfη) − ∂η(Hξfξ) .

∂

∂

Аналогично формуле (5.31) устанавливаются равенства

aξ = Hη1Hζ

∂η

(Hζ fζ ) − ∂ζ (Hηfη) ,

∂

∂

aη = Hξ1Hζ

∂ζ

(Hξfξ) − ∂ξ (Hζ fζ ) ,

∂

∂

В частности, для цилиндрической системы координат (ρ, ϕ, z):

rotf~ = ρ

∂ϕz − ρ

∂zϕ ~eρ

+ ∂zρ

− ∂ρz

~eϕ

+ ρ

∂ρϕ

)

−

∂ϕρ

~ez,

1

∂f

∂f

∂f

∂f

1

∂(ρf

∂f

а для сферической системы координат (ρ, ϕ, ϑ):

∂ϑ

−

~eϕ

rotf~ = ρ sin ϑ

∂ϕ −

∂ϑ

~eρ + ρ

∂ρ

1

∂fϑ

∂(sin ϑfϕ)

1

∂fρ

∂(ρfϑ)

+ρ sin ϑ

sin ϑ

∂ρϕ

−

∂ϕρ ~eϑ.

1

∂(ρf )

∂f

∂u ∂u ∂u

T

В декартовых

координатах

gradu

=

,

,

, а

∂x

∂y

∂z

div~v =

∂vx

+

∂vy

+

∂vz

. Поэтому в этом случае

∂x

∂y

∂z

∂2u

∂2u

∂2u

u =

+

+

.

∂x2

∂y2

∂z2