- •Комплексные числа и многочлены
- •Комплексные числа
- •Определение комплексных чисел и действия над ними
- •Сложение и умножение комплексных чисел в алгебраической форме
- •Деление комплексных чисел в алгебраической форме
- •Извлечение квадратного корня из комплексного числа в алгебраической форме
- •Решение линейных и квадратных уравнений для комплексных чисел
- •Тригонометрическая форма записи комплексных чисел
- •Геометрическое изображение комплексных чисел
- •Тригонометрическая форма записи комплексных чисел
- •Умножение и деление комплексных чисел. Формула Муавра
- •Задачи на построение областей на комплексной плоскости
- •Извлечение корня из комплексных чисел в тригонометрической форме
- •Многочлены
- •Многочлены и действия над ними
- •Корни многочленов
- •Неприводимые многочлены
- •Нахождение наибольшего общего делителя многочленов
- •Дробно-рациональные функции
- •Список литературы
Извлечение корня из комплексных чисел в тригонометрической форме
Определения и утверждения к 3.1.8 можно найти в [1, с. 191-192].
Комплексное число называется корнемn-й степени из комплексного числаz, если.
Утверждение. При любом натуральномn > 1 и любом комплексномz существует ровноnразличных чисел, таких, что:
(1.4)
где k= 0, 1, 2, ...,n– 1.
Пример 25 Вычислить.
Решение. Для того чтобы воспользоваться формулой (1.4), необходимо представить число, стоящее под знаком корня, в тригонометрической форме. Для числаz = ‑1 найдем его модуль и аргумент:,. В итоге.
По формуле (1.4) . Тогда:
Пример 26 Вычислить .
Решение. Для числа найдем его модульи аргумент:,, так как число лежит на отрицательной части мнимой оси. В итоге. По формуле (1.4), гдеk= 0, 1, 2, 3, 4. Тогда:
Для иаргументами будути, а неисоответственно, так как.
Пример 27 Вычислить.
Решение. Для числамодульи аргументесть:=,.
В итоге =. По формуле (1.4)
Тогда:
Из формулы (1.4) видно, что аргументы корнейотличаются на одну и ту же величину, а модули всех корней одинаковые и равны. Значит, на комплексной плоскости всележат на окружности с центром в начале координат и радиусомна одинаковом расстоянии друг от друга. Для примера 27 изображения самого числаи его корней,,можно видеть на рис. 1.10.
Многочлены
Многочлены и действия над ними
Определения и утверждения к 2.1 можно найти в [1, с. 203-206].
Для действительной переменной x функция вида, гдеa иx –действительные числа, аn – натуральное число или 0 (по-другому это можно записать как), называется одночленом с действительным коэффициентом.
Многочлен ‑ это сумма одночленов, т.е. функция вида
. При этомназывается старшим коэффициентом и,‑ свободным членом,n ‑ степенью многочлена.
Многочлен тождественно равен 0 тогда и только тогда, когда все его коэффициенты равны 0.
Если в записи многочлена нет какой-либо степени неизвестного, это значит, что коэффициент при этой степени равен 0.
На множестве многочленов определены следующие действия:
1. Сложение.
Пример 28. Найти.
2. Умножение.
Пример 29. Найти.
3. Деление с остатком.
Разделить на‑ значит записатьв виде, или. Последняя запись аналогична записи для чисел:, или 17 = 53 + 2.
Теорема (о делении с остатком) [1, с. 206]. Для любых многочленовисуществуют, и притом единственные, многочленыи, такие, что
. (2.1) При этом степеньменьше степени,‑ неполное частное,‑ остаток. Разделитьна‑ значит записатьв виде (2.1).
Для практического нахождения частного и остатка существует метод деления «уголком».
Пример 30 Выполнить «уголком» деление с остатком:
=на =.
Решение.Запишем делимое и делитель как при делении многозначных чисел:
Находим частное от деления старшего члена делимого на старший член делителя () и записываем результат в графу частного:
x
Умножаем делитель на результат деления и записываем под делимым:
x
Вычитаем из делимого результат умножения:
x
Проверяем степень получившегося в результате вычитания многочлена. Если она меньше степени делителя, то процесс деления закончен, и полученный многочлен является остатком. В противном случае деление продолжается аналогично описанному ранее:
x ‑ 1
‑ 4x
Так как степень полученного многочлена меньше степени делителя, то процесс деления закончен. В результате: = x– 1– неполное частное, а
= –4x – остаток.
Ответ: , или
.
Пример 31 Выполнить деление с остатком:на.
Решение. Запишем делимое и делитель как при делении многозначных чисел. Если в записи многочлена отсутствует одна или несколько степеней, то при записи, для удобства вычислений, следует на их места записать нули:
3x +1
Получившиеся в результате умножения многочлены удобнее записывать, располагая слагаемые в соответствии с их степенями. Так как степень полученного многочлена меньше степени делителя, то процесс деления закончен. В результате: =– неполное частное, а= 3x + 1 – остаток.
Ответ:, или.
Пример 32 Делится ли нацело многочленна многочлен?
Решение. Разделим один многочлен на другой «уголком».
0 В остатке от деления получился нуль, значит,многочлен делится на многочленнацелои возможны записи:
, или.