§ 1.2 Правило рунге.
Правило двойного пересчета. Правило практической оценки погрешности.
Пусть - приближенное значение интеграла, вычисленное по некоторой квадратурной формуле. Для погрешности квадратурной формулы справедливо представление:
(1.7)
Где и - величины, не зависящие от h.Тогда величина называется главным членом погрешности квадратурной формулы. Отбросим члены более высокого порядка малости, и будем считать, что сделано два вычисления интеграла: с шагом h и h/2:
Вычитая из верхнего равенства нижнее, получим приближенное равенство:
Учитывая приближенное равенство (), можно считать, что выведена формула,
(1.8)
называемая правилом Рунге или апостериорной оценкой погрешности.
Уточнение по Рунге
Приближенное равенство (1.6) позволяет получить уточненное значение интеграла:
(1.9)
Последняя формула называется уточнением по Рунге.
Замечание 1. Заменой h на 2h формула (1.9) приводится к следующему виду:
Замечание 2. Выполнение уточнения по Рунге для формулы трапеций приводит к формуле, совпадающей с формулой Симпсона. Действительно,
ПРИМЕРЫ. Вычислить интеграл по формуле трапеций.
Решение.
Вычислим значения подинтегральной функции в следующих точках:
f(0)=0.8 f(1/2)=1.414214-0.2=1.214214 f(1)=1.8
Продемонстрируем работу правила Рунге. Вычислим интеграл по формуле трапеций при уменьшенном вдвое шаге интегрирования.
- погрешность уменьшилась примерно в 3 раза.
Рис.1.2. Схема алгоритма вычисления определенного интеграла
с автоматическим выбором шага интегрирования.
§ 1.3 Квадратурные формулы интерполяционного типа.
Рассмотренные методы относятся к формулам Ньютона-Котеса. Обобщим полученные результаты. Зафиксируем некоторые значения . Аппроксимируем функцию f(x) на i-ом элементарном отрезке интерполяционным многочленом
с узлами интерполяции , . Приближенная замена интеграла I суммой
= (1)
приводит к составной формуле интерполяционного типа. Квадратурные формулы интерполяционного типа, построенные на основе равноотстоящих значений
называются формулами Ньютона-Котеса.
Приведем квадратурные формулы Ньютона-Котеса, отвечающие использованию многочленов степени m=1,2,3:
m=1 формула трапеций
m=2 формула Симпсона
, m=3 правило 3/8
Формула 6-го порядка точности:
остаточный член
Учебник стр.430