mat_an_lektsia_funk_mn_per_1234

Теорема 4.3 Если функция f(X) дифференцируема в точке X0, то она в этой точке непрерывна.

Доказательство. Из формулы (4.1) для полного приращения дифференцируемой функции имеем

f(X) f(X0) = f = A1 x1 + A2 x2 + : : : + Am xm + 1 x1 + 2 x2 + : : : + m xm:

Если X ! X0; то x1 ! 0; x2 ! 0; : : : ; xm ! 0, а значит, все бесконечно малые функции k ! 0; k = 1; m: Следовательно, f ! 0 и тогда f(X) ! f(X0); что и означает по определению непрерывность функции в точке X0: Теорема доказана.

Производная сложной функции

Для функции одной переменной была ранее доказана формула для вычисления произ-

водной сложной функции

(f(u(x)))0x = fu0 (u(x)) u0x(x):

Теперь докажем формулу для вычисления производной сложной функции нескольких переменных.

Теорема 4.4 Пусть функция f(x1; x2; : : : ; xm) дифференцируема в точке X0(x01; x02; : : : ; x0m); а каждая из функций xk = 'k(t1; t2; : : : ; tn) дифференцируема в точке T0(t01; t02; : : : ; t0n); причем x0k = 'k(T0): Тогда сложная функция

F (T ) = f('1(T ); '2(T ); : : : ; 'm(T )) = f('1(t1; t2; : : : ; tn); '2(t1; t2; : : : ; tn); : : : ; 'm(t1; t2; : : : ; tn))

является дифференцируемой в точке T0; причем

В этой формуле все производные по переменной tk вычисляются в точке T0, а производные по переменным x1; x2; : : : ; xm в точке X0:

Доказательство. Придадим переменным t1; t2; : : : ; tn в точке T0(t01; t02; : : : ; t0n) произвольные приращения t1; t2; : : : ; tn: Тогда переменные x1; x2; : : : ; xm получат приращения

x1; x2; : : : ; xm; которым в свою очередь соответствует приращение f: Так как функция f по условию дифференцируема в точке X0; то, согласно определению (4.2), ее полное приращение в этой точке представимо в виде

f = A1 x1 + A2 x2 + : : : + Am xm + 1 x1 + 2 x2 + : : : + m xm;

где Ak = @f ; k = 1; m (что было доказано в теореме о необходимом условии диффе-

@xk X0

ренцируемости функции в точке), 1; 2; : : : ; m бесконечно малые при x1 ! 0; x2 !

0; : : : ; xm ! 0 функции, равные нулю при x1 = x2 = : : : = xm = 0:

11

Каждая из функций xk = 'k(t1; t2; : : : ; tn) дифференцируема по условию в точке T0. Тогда, применяя то же определение (4.2), полное приращение этих функций в этой точке представимо в виде

равные нулю при t1 = t2 = : : : = tn = 0:

Подставим эти выражения для xk в формулу полного приращения функции f и преобразуем полученное выражение

f = A1 x1 + A2 x2 + : : : + Am xm + 1 x1 + 2 x2 + : : : + m xm =

=(A1 + 1) x1 + (A2 + 2) x2 + : : : + (A1 + m) xm =

=(A1 + 1) (B11 t1 + B21 t2 + : : : + Bn1 tn + 11 t1 + 21 t2 + : : : + n1 tn)+ +(A2 + 2) (B12 t1 + B22 t2 + : : : + Bn2 tn + 12 t1 + 22 t2 + : : : + n2 tn)+

: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :

+(Am + m) (B1m t1 + B2m t2 + : : : + Bnm tn + 1m t1 + 2m t2 + : : : + nm tn) = = C1 t1 + C2 t2 + : : : + Cn tn + 1 t1 + 2 t2 + : : : + n tn:

Здесь мы раскрыли скобки, перегруппировали слагаемые и ввели следующие обозначения

C1 = A1B11 + A2B12 + : : : + AmB1m;

C2 = A1B21 + A2B22 + : : : + AmB2m;

: : : : : : : : : : : : : :

Cn = A1Bn1 + A2Bn2 + : : : + AmBnm;

1 = 1B11 + 2B12 + : : : + mB1m + (A1 + 1) 11 + (A1 + 2) 12 + : : : + (Am + m) 1m;2 = 1B21 + 2B22 + : : : + mB2m + (A1 + 1) 21 + (A1 + 2) 22 + : : : + (Am + m) 2m;

: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :

n = 1Bn1 + 2Bn2 + : : : + mBnm + (A1 + 1) n1 + (A1 + 2) n2 + : : : + (Am + m) nm;

Очевидно, что каждая из величин C1; C2; : : : ; Cn является константой, независящей от

t1; t2; : : : ; tn: Покажем, что величины 1; 2; : : : ; n являются бесконечно малыми при

t1 ! 0; t2 ! 0; : : : ; tn ! 0 функциями. Для этого достаточно показать, что каждая из функций 1; 2; : : : ; m будет стремиться к нулю при t1 ! 0; t2 ! 0; : : : ; tn ! 0.

12

По условию, каждая из функций xk = 'k(T ) дифференцируема в точке T0; а значит, по теореме 4.3 является в этой точке непрерывной, т. е. по определению непрерывной в точке функции

xk = 'k(T ) ! 'k(T0) = x0k при T ! T0; k = 1; m:

Значит, если t1 ! 0; t2 ! 0; : : : ; tn ! 0,то T ! T0, следовательно, xk ! x0k; т. е.

xk ! 0; k = 1; m: Тогда каждая функция k ! 0; так как является бесконечно малой при x1 ! 0; x2 ! 0; : : : ; xm ! 0. В итоге имеем, что 1; 2; : : : ; m являются бесконечно малыми функциями при t1 ! 0; t2 ! 0; : : : ; tn ! 0. А так как каждая функция ki

тоже является бесконечно малой при t1 ! 0; t2 ! 0; : : : ; tn ! 0, то очевидно, что и

1; 2; : : : ; n являются бесконечно малыми при t1 ! 0; t2 ! 0; : : : ; tn ! 0 функциями. Применяя равенство

f = f(X) f(X0) = f(x1; x2; : : : ; xm) f(x01; x02; : : : ; x0m) =

=f('1(T ); '2(T ); : : : ; 'm(T )) f('1(T0); '2(T0); : : : ; 'm(T0)) = F (T ) F (T0) = F

ивыражение, полученное ранее для f, получим

F = f = C1 t1 + C2 t2 + : : : + Cn tn + 1 t1 + 2 t2 + : : : + n tn:

Тогда, по определению (4.2), функция F (T ) дифференцируема в точке T0: Кроме того,

В этой формуле все производные по переменным t1; t2; : : : ; tn вычисляются в точке T0, а производные по переменным x1; x2; : : : ; xm в точке X0: Теорема доказана.

13