![](/user_photo/_userpic.png)
mat_an_lektsia_funk_mn_per_1234
.pdf![](/html/66026/1652/html_tH6y_mkqGr.WRDn/htmlconvd-Lt0vwt11x1.jpg)
Теорема 4.3 Если функция f(X) дифференцируема в точке X0, то она в этой точке непрерывна.
Доказательство. Из формулы (4.1) для полного приращения дифференцируемой функции имеем
f(X) f(X0) = f = A1 x1 + A2 x2 + : : : + Am xm + 1 x1 + 2 x2 + : : : + m xm:
Если X ! X0; то x1 ! 0; x2 ! 0; : : : ; xm ! 0, а значит, все бесконечно малые функции k ! 0; k = 1; m: Следовательно, f ! 0 и тогда f(X) ! f(X0); что и означает по определению непрерывность функции в точке X0: Теорема доказана.
Производная сложной функции
Для функции одной переменной была ранее доказана формула для вычисления произ-
водной сложной функции
(f(u(x)))0x = fu0 (u(x)) u0x(x):
Теперь докажем формулу для вычисления производной сложной функции нескольких переменных.
Теорема 4.4 Пусть функция f(x1; x2; : : : ; xm) дифференцируема в точке X0(x01; x02; : : : ; x0m); а каждая из функций xk = 'k(t1; t2; : : : ; tn) дифференцируема в точке T0(t01; t02; : : : ; t0n); причем x0k = 'k(T0): Тогда сложная функция
F (T ) = f('1(T ); '2(T ); : : : ; 'm(T )) = f('1(t1; t2; : : : ; tn); '2(t1; t2; : : : ; tn); : : : ; 'm(t1; t2; : : : ; tn))
является дифференцируемой в точке T0; причем
@F |
|
@f |
|
@'1 |
|
@f |
|
@'2 |
|
|
@f |
|
@'m |
|
|
|
= |
+ |
+ ::: + |
|
; k = 1; n: |
||||||||||||
@tk |
@x1 |
@tk |
@x2 |
@tk |
@xm |
@tk |
В этой формуле все производные по переменной tk вычисляются в точке T0, а производные по переменным x1; x2; : : : ; xm в точке X0:
Доказательство. Придадим переменным t1; t2; : : : ; tn в точке T0(t01; t02; : : : ; t0n) произвольные приращения t1; t2; : : : ; tn: Тогда переменные x1; x2; : : : ; xm получат приращения
x1; x2; : : : ; xm; которым в свою очередь соответствует приращение f: Так как функция f по условию дифференцируема в точке X0; то, согласно определению (4.2), ее полное приращение в этой точке представимо в виде
f = A1 x1 + A2 x2 + : : : + Am xm + 1 x1 + 2 x2 + : : : + m xm;
где Ak = @f ; k = 1; m (что было доказано в теореме о необходимом условии диффе-
@xk X0
ренцируемости функции в точке), 1; 2; : : : ; m бесконечно малые при x1 ! 0; x2 !
0; : : : ; xm ! 0 функции, равные нулю при x1 = x2 = : : : = xm = 0:
11
Каждая из функций xk = 'k(t1; t2; : : : ; tn) дифференцируема по условию в точке T0. Тогда, применяя то же определение (4.2), полное приращение этих функций в этой точке представимо в виде
|
|
x1 = '1 = B11 t1 + B21 t2 + : : : + Bn1 tn + 11 t1 + 21 t2 + : : : + n1 tn; |
||||||||||||||||
|
|
x2 = '2 = B12 t1 + B22 t2 + : : : + Bn2 tn + 12 t1 + 22 t2 + : : : + n2 tn; |
||||||||||||||||
|
|
: : : |
: : : : : |
: |
: : : : : : : |
: : : : |
: : : : : : |
: : : : : : , |
||||||||||
|
|
xm = 'm = Bm t1 |
+ Bm t2 + : : : + Bm tn + m t1 |
+ m t2 |
+ : : : + m tn: |
|||||||||||||
|
|
|
1 |
|
2 |
|
|
n |
1 |
|
2 |
|
|
n |
||||
где |
|
B1k = @t1 |
T0 |
; B2k = @t2 T0 ; : : : ; Bnk |
= @tn T0 ; k = 1; m; |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
@'k |
|
@'k |
|
|
|
@'k |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
k |
k |
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; k = 1; m |
|
|
при t1 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
1 |
; 2 |
; : : : ; n |
бесконечно малые |
! 0; t2 ! 0; : : : ; tn ! 0 функции, |
равные нулю при t1 = t2 = : : : = tn = 0:
Подставим эти выражения для xk в формулу полного приращения функции f и преобразуем полученное выражение
f = A1 x1 + A2 x2 + : : : + Am xm + 1 x1 + 2 x2 + : : : + m xm =
=(A1 + 1) x1 + (A2 + 2) x2 + : : : + (A1 + m) xm =
=(A1 + 1) (B11 t1 + B21 t2 + : : : + Bn1 tn + 11 t1 + 21 t2 + : : : + n1 tn)+ +(A2 + 2) (B12 t1 + B22 t2 + : : : + Bn2 tn + 12 t1 + 22 t2 + : : : + n2 tn)+
: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
+(Am + m) (B1m t1 + B2m t2 + : : : + Bnm tn + 1m t1 + 2m t2 + : : : + nm tn) = = C1 t1 + C2 t2 + : : : + Cn tn + 1 t1 + 2 t2 + : : : + n tn:
Здесь мы раскрыли скобки, перегруппировали слагаемые и ввели следующие обозначения
C1 = A1B11 + A2B12 + : : : + AmB1m;
C2 = A1B21 + A2B22 + : : : + AmB2m;
: : : : : : : : : : : : : :
Cn = A1Bn1 + A2Bn2 + : : : + AmBnm;
1 = 1B11 + 2B12 + : : : + mB1m + (A1 + 1) 11 + (A1 + 2) 12 + : : : + (Am + m) 1m;2 = 1B21 + 2B22 + : : : + mB2m + (A1 + 1) 21 + (A1 + 2) 22 + : : : + (Am + m) 2m;
: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
n = 1Bn1 + 2Bn2 + : : : + mBnm + (A1 + 1) n1 + (A1 + 2) n2 + : : : + (Am + m) nm;
Очевидно, что каждая из величин C1; C2; : : : ; Cn является константой, независящей от
t1; t2; : : : ; tn: Покажем, что величины 1; 2; : : : ; n являются бесконечно малыми при
t1 ! 0; t2 ! 0; : : : ; tn ! 0 функциями. Для этого достаточно показать, что каждая из функций 1; 2; : : : ; m будет стремиться к нулю при t1 ! 0; t2 ! 0; : : : ; tn ! 0.
12
![](/html/66026/1652/html_tH6y_mkqGr.WRDn/htmlconvd-Lt0vwt13x1.jpg)
По условию, каждая из функций xk = 'k(T ) дифференцируема в точке T0; а значит, по теореме 4.3 является в этой точке непрерывной, т. е. по определению непрерывной в точке функции
xk = 'k(T ) ! 'k(T0) = x0k при T ! T0; k = 1; m:
Значит, если t1 ! 0; t2 ! 0; : : : ; tn ! 0,то T ! T0, следовательно, xk ! x0k; т. е.
xk ! 0; k = 1; m: Тогда каждая функция k ! 0; так как является бесконечно малой при x1 ! 0; x2 ! 0; : : : ; xm ! 0. В итоге имеем, что 1; 2; : : : ; m являются бесконечно малыми функциями при t1 ! 0; t2 ! 0; : : : ; tn ! 0. А так как каждая функция ki
тоже является бесконечно малой при t1 ! 0; t2 ! 0; : : : ; tn ! 0, то очевидно, что и
1; 2; : : : ; n являются бесконечно малыми при t1 ! 0; t2 ! 0; : : : ; tn ! 0 функциями. Применяя равенство
f = f(X) f(X0) = f(x1; x2; : : : ; xm) f(x01; x02; : : : ; x0m) =
=f('1(T ); '2(T ); : : : ; 'm(T )) f('1(T0); '2(T0); : : : ; 'm(T0)) = F (T ) F (T0) = F
ивыражение, полученное ранее для f, получим
F = f = C1 t1 + C2 t2 + : : : + Cn tn + 1 t1 + 2 t2 + : : : + n tn:
Тогда, по определению (4.2), функция F (T ) дифференцируема в точке T0: Кроме того,
|
@F |
= C1 |
= A1B11 |
+ A2B12 + : : : + AmB1m = |
|
@f |
|
|
@'1 |
|
+ |
@f |
|
@'2 |
|
+ ::: + |
@f |
|
@'m |
; |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
@t1 |
@x1 |
|
@t1 |
@x2 |
@t1 |
@xm |
@t1 |
||||||||||||||||
|
@F |
= C2 |
= A1B21 |
+ A2B22 + : : : + AmB2m = |
|
@f |
|
@'1 |
|
+ |
@f |
|
@'2 |
|
+ ::: + |
@f |
|
@'m |
; |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
@t2 |
@x1 |
|
@t2 |
@x2 |
@t2 |
@xm |
@t2 |
||||||||||||||||
: : |
: : |
: : : |
: : : : : : : : : : |
: : |
|
|
: |
: |
|
: : : : : |
|
: : : : : : : : |
||||||||||||
|
@F |
= Cn = A1Bn1 + A2Bn2 + : : : + AmBnm = |
|
@f |
|
@'1 |
+ |
@f |
|
@'2 |
+ ::: + |
@f |
|
@'m |
: |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
@tn |
|
@x1 |
@tn |
@x2 |
@tn |
@xm |
@tn |
|
В этой формуле все производные по переменным t1; t2; : : : ; tn вычисляются в точке T0, а производные по переменным x1; x2; : : : ; xm в точке X0: Теорема доказана.
13