- •7. Преобразование Фурье (прямое, обратное, синус- и косинус-преобразование).
- •9.Двойные интегралы.Сведения двойного инт-лак повторному по прямоуг-ку и элемент обл-сти.Сведения тройного инт-ла.
- •Прилож.Крат.Интегрлов:
- •Приложения:
- •14 Потенциальные векторные поля. Потенциальность поля и эквивалентные утверждения о криволинейных интегралах второго рода.
- •След: (Выч-ие пл-ей с помощью крив-ых инт-лов)
- •19.Дивергенция.Ф-ла Остроградского и ее усл-ия
- •20.Ротор. Ф-ла Стокса. Усл-ие. Потенциальности век-ых полей в пр-ве.
- •22.Поток поля, дивергенция, соленоидальные поля.З-н сохр-ия интен-ности вект-ной трубки.
- •24.Гармонические ф-ии, сопряженные гармонические ф-ии. З-ча восстановления аналитич ф-ии по известной действит.(мнимой) части.
- •26. Первообразная функции и неопределёный интеграл. Тоерема о сущ-нии первообразной для аналитич. Ф-ии. Ф-ла Ньютона-Лейбница
- •Теорема о разложении аналит. Ф-ции в ряд Тейлора
- •Классификация с помощью рядов Лорана.
9.Двойные интегралы.Сведения двойного инт-лак повторному по прямоуг-ку и элемент обл-сти.Сведения тройного инт-ла.
Т1. Усл-я по прямоуг-ку :П= . 1) f(x,y) инт-ма на П. 2) dy=F(x) F(x) на , т.е. и удов.рав-во:
След.1: , F-инт-ма и огранич на П;
След.2: f(x,y) непрерывна в П ⟹ = = Док-во: еслиF непрерывна в П:
по Крит.
По элемень.областиD
Опр.D элемент-ой отн-но оси ОУ если
D =(x,y):x ,y , где – непр-ны на . D элемент-на от-но ОУ ,если , x пересекаетD по отрезку .
Т2.1)D элемент-на от-но ОУ. 2) Fинт-ма на Dт.е.
. 3) x = ( ). Док-во:
– непр-ны на ,то inf =e,
П=
(x,y)=
=
Пр.:
) = =
Сведения 3-го интеграла к повторному по элем. Обл-ти. Опр. Область -ой отн-но оси Oz,если Ω = x xoyz , D- измерим компакт в инт-ма на .
Теорема. 1) оси Oz
2)
3) D
u
=
D-элем.отн-но OY ,D =(x,y): x y
Пр.: I= =
10. теоремы о замене переменных в двойном интеграле.ф-лы замены переменных при переходе поляр,цилиндр,сферичсист.коорд.
задает отображение в D
Пусть верны усл-я на отображ-е (*)
1)отображ-е (*) взаимно однозначно т.е. каждой(·) отвечает (·)D
2) , имеют в непр-ыечастн. Производ. 1-го порядка
3)якобиан отображения (*) J= обл.
T.пусть вып-ныусл-я:
1)обл. иDквадрируемы, т.е. измеримы по Жардануобл.вR.
2) непрерыв. в =D
3)отображ-е (*)обл. в D
⟹справ-ва ф-ла зменыперемен.в 2-ом
: dudv
-модуль Якобиана
Замена перемен.при переходе к поляр. Сист.коорд.
Замена перемен.в тройном
(*),
T2. Пусть вып-ныусл-я Т1 dudvdw
Замена перемен.при переходе к цилиндрич.сист.
К сферич.сисит-мекоорд-т:
Или :
1 случ:
Прилож.Крат.Интегрлов:
1)площадь фигуры: m(D)=S =
2)объем ф-ры:V( =
Через 2-ой интеграл: V= ,
,
3) масса пластины/ тела:
Тела: пл-ть в(
Пл-ны:M=
4)коорд-ты центра тяжести:
по оси Ох, -пл-ть
5) момент инерции ( Отн-но координат.плоскостей
Отн-но начала коорд-т:
Отн-но коорд.осей:
11.криволин.инт-лы 1 рода, опр.,св-ва,теорема о вычислении с помощью опред-гоинт-ла.
L-кривая в , L- без самопересеч.
L: , t
L-кусочно ладкая: 1) -непр-но диф-ые
2)касат.вектор ≠0 в кривой
L-диф-ая,если конеч. Число ℓ(L)=supℓ(L),L-длина кривой. Если L- кус-но глад. Кривая без самопересеч..то она определена и ℓ(L)= dt
T-разбито
отвечают (·)-ки крив. измерима m( мера(длина)
дуге = выберем(·)-ки
Опр. суммойназ-ся число m(
Опр.числоIназ-сяпределоминтегр-я суммы при , если разб-ияТ;такое что пишут I=
Если число I то Fинт-ма по крив. LuIназ-ют крив-ым интегралом 1 рода I= dℓ. Св-ва:
1) dℓ=
2)аддитивность: L=L1 , L1 ≠0(общий конец) и dℓ, то =
Теорема: крив.-кусоч.глад. без самопересеч.и ф-ция -кусоч.непрерыв. на то и справ-во рав-во: = dt
3)лин-ти)
4)еслиF на L,то
5)если F,g- кусоч.непрерывны и g в
6) если то и
7)Fнепрерывна на L1⟹ такая что ; L( длина;L(
12.крив-ые интегралы 1 рода.ф-лы вычисления случ.плоск.кривой.приложения,примеры.
L
1)L-задана пар-ческиL: t
2) L-задана неявно: L:y=y(x) x
3) L-задана в поляр.сист.к-т:L:r=r(
L:
Пример: L:( =
x в поляр-ую сист. Коорд-т:
L( (
- y
dL= d
=
I= d