Алмаев Р.Х. и др. Линейная алгебра в примерах и задачах Часть II

5. КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ И ИХ ПРИМЕНЕНИЕ

Определение. Квадратичной формой n переменных x1 , x2 ,..., xn , принимающих числовые значения, называется числовая функция вида

n n

∑∑aij xi xj =a11x12 + a12 x1x2 +... + a1n x1xn + a21x2 x1 + a22 x22 +...

i=1 j =1

+a2n x2 xn +... + an1xn x1 + an2 xn x2 +... + ann xn2 ,

где aij – числа, называемые коэффициентами квадратичной формы.

Определение. Матрицей квадратичной формы n переменных x1 , x2 ,..., xn называется симметрическая матрица порядка n, элемен-

ты главной диагонали которой совпадают с коэффициентами при квадратах переменных, а каждый недиагональный элемент, расположенный в i-ой строке j-ом столбце, равен половине коэффициента при xi xj в квадратичной форме.

Определение. Рангом квадратичной формы называется ранг ее матрицы. Квадратичная форма может быть записана в матричном виде

f(xG) = xGΤ A xG, гдеA – матрицаквадратичнойформыи x = (x1, x2 ,...xn ) . Определение. Квадратичная форма называется канонической

(имеет канонический вид), если коэффициенты aij = 0 при i ≠ j , т.е.,

если матрица квадратичной формы диагональная и, следовательно,

f (xG) = a11x12 + a22 x22 +... + ann xn2 = ∑n aii xi2 ,

i=1

где не все коэффициенты aii равны нулю.

Теорема (Лагранжа). Для всякой квадратичной формы существует такой базис, в котором квадратичная форма имеет канонический вид.

Определение. Нормальным видом квадратичной формы называется такой канонический вид, в котором коэффициенты при квадратах неизвестных (не считая нулевых) равны ±1.

Определение. Квадратичная форма f (x) называется положительно (отрицательно) определенной, если f (xG) > 0 ( f (xG) < 0) при

всех xG ≠ 0 , и положительно (отрицательно) полуопределенной, если f (xG) ≥ 0 ( f (xG) ≤ 0) при всех x .

31

ТеоремаG (критерий Сильвестра). Для того чтобы квадратичная форма f (x) была положительно определенной, необходимо и дос-

таточно, чтобы все угловые миноры матрицы квадратичной формы были положительны, т.е., чтобы

1 > 0, 2 > 0,..., n > 0.

Здесь 1, 2 ,..., n – угловыеминорыматрицыквадратичнойформы. Следствие. Для того чтобы квадратичная форма f (x) была от-

рицательно определенной, необходимо и достаточно, чтобы знаки угловых миноров матрицы квадратичной формы чередовались сле-

1. Привести квадратичную форму к каноническому виду мето-

дом Лагранжа и записать соответствующее преобразование

L(xG, xG) = x12 − x22 +3x32 + 4x1x2 + 2x2 x3 .

Решение. Следуя алгоритму метода Лагранжа, выделим вначале в квадратичной форме все члены, содержащие x1 , и дополним их до полного квадрата:

будет содержать смешанных произведений. Примем также x3 = y3 , тогда канонический вид квадратичной формы есть

L = y12 −5y22 +3.2 y32 .

Соответствующее преобразование от переменных x1 , x2 , x3 к переменным y1, y2 , y3 имеет вид

y1 = x1 + 2x2 , y2 = x2 −0.2x3 , y3 = x3 .

32

2. Найти ортогональное преобразование, приводящее квадратичную форму к каноническому виду, и записать соответствующий

Эта матрица будет определять квадратичную форму канонического вида в ортонормированном базисе e1′,eG2′,eG3′ , составленном из соб-

ственных векторов матрицы А. Найдем их. Характеристическое уравнение для матрицы А имеет вид

Ранг матрицы этой системы уравнений (относительно α1 ,α2 ,α3 )

равен 1. Следовательно, ФСР системы состоит из двух линейно независимых решений.

Как видно из данной системы, величина α3 принимает произвольные значения, а величины α1,α2 связаны соотношением α1 +α2 = 0 . В качестве собственных можно выбратьG , например, векторы

f1 = (1,0,0), f2 = (0,1,−1).

33

Эти векторы ортогональны: ( f1 , fG2 ) = 0 (если бы они оказались не ортогональными, то их нужно было бы ортогонализировать с

Ранг матрицы этой системы уравнений равен 2. Следовательно,

Теперь можно составить искомую матрицу ортогонального пре-

Исходная квадратичная форма будет иметь следующий канониче-

34

3. Построить в прямоугольной системе координат фигуру, определяемую следующим уравнением, предварительно приведя его к каноническому виду

5x2 +6xy +5y2 −16x −16 y −16 = 0 .

Решение. Выделим в этом выражении квадратичную форму L(x, y) . Это три первых слагаемых уравнения

L(x, y) = 5x2 + 6xy +5y2 .

цедуру приведения квадратичной формы к каноническому виду с помощью ортогонального преобразования. Характеристическое уравнение матрицы имеет вид

Его корни таковы: λ1 =8,λ2 = 2 .

Найдем теперь собственные векторы, соответствующие этим корням и отнормрируем их. Для вектора f1 = (α1 ,α2 ) , соответствующего λ1 =8 , имеем

В итоге собственный вектор, соответствующий λ1 =8 , можно

G 1

выбрать в виде f1 = .

1

Аналогичная процедура для собственного вектора f2 = (β1 ,β2 )

После нормировки полученных векторов имеем

35

Эти векторы представляют собой ортонормированный базис новой системы координат. Матрица ортогонального оператора, при-

Это есть каноническое уравнение эллипса в системе координат

36

5.9.3x12 +8x1x2 −3x22 + 4x32 −6x3 x4 − 4x42 ;

5.10.4x12 − 4x22 −8x2 x3 + 2x32 −4x3 x4 −5x42 ;

5.11.3x1x2 .

Найти ранг квадратичной формы

5.12.x12 + 4x22 + 4x1 x2 ;

5.13.x12 + 2x22 −6x1 x2 ;

5.14.x12 −2x22 −3x32 + 4x1 x2 + 6x1 x3 + 2x2 x3 ;

5.15.2x12 −3x22 −3x32 − 2x1 x2 + 2x1 x3 −8x2 x3 ;

5.16.2x12 − x22 +3x32 + x42 ;

5.17.2x12 +3x22 − x32 + 2x1 x2 + 2x1 x3 ;

5.18.2x12 +5x22 + 2x32 + 4x1 x2 + 4x1 x3 − 2x2 x3 ;

5.19.x12 + 2x1 x2 + x22 − 2x32 − 4x3 x4 − 2x42 ;

5.20.9x12 +5x22 +8x42 +5x32 +8x2 x3 − 4x3 x4 + 4x2 x4 .

Записать квадратичную форму в матричном виде

5.21.3x12 + 2x22 −6x1x2 ;

5.22.x22 +3x1x2 ;

5.23.2x22 − x12 ;

5.24.x12 −3x22 + x32 −4x2 x3 ;

5.25.5x12 + 2x1x3 − x2 x3 ;

5.26.x1x2 +3x1x3 −2x2 x3 ;

5.27.x12 −3x22 + x32 − 2x2 x1 −2x2 x3 ;

5.28.3x22 + x12 + 2x2 x1 −2x32 − 4x4 x3 − 2x42 ;

5.29.9x12 +5x22 +8x42 +5x32 +8x2 x3 −4x3 x4 + 4x2 x4 ;

37

Привести квадратичную форму к каноническому виду методом Лагранжа и записать соответствующее преобразование

5.41.x12 + 2x22 + 2x1x2 ;

5.42.x12 +5x22 + 2x32 + 2x1x2 + 2x1 x3 −2x2 x3 ;

5.43.4x12 + 2x22 +14x32 − 4x1 x2 −6x2 x3 ;

5.44.x12 −4x32 − 2x1x2 + 2x1 x3 ;

5.45.x22 + x32 + x1x3 −2x2 x3 ;

5.46.x1x2 − x1x3 ;

5.47.x12 + 2x22 + x42 + 4x1x2 + 4x1 x3 + 2x1 x4 + 2x2 x3 + 2x2 x4 ;

5.48.x1x2 + x1x3 + x1 x4 + x2 x3 + x2 x4 + x3 x4 ;

5.49.x1x2 + x2 x3 + x3 x1;

5.50.4x12 + x22 + x32 − 4x1 x2 + 4x1 x3 −3x2 x3 ;

5.51.x12 +5x22 − 4x32 + 2x1 x2 − 4x1 x3 ;

5.52.2x1 x2 + 4x1 x3 − x22 −8x32 .

38

Найти ортогональное преобразование, приводящее квадратичную форму к каноническому виду, и записать соответствующий канонический вид квадратичной формы

5.55.2x1x2 ;

5.56.3x12 +3x22 −2x1 x2 + 4x1 x3 + 4x2 x3 ;

5.57.7x12 +7x22 +7x32 + 2x1 x2 + 2x1 x3 + 2x2 x3 ;

5.58.2x1x2 + 2x1x3 ;

5.59.x12 + x22 + x32 − 2x1 x2 −2x1 x3 −2x2 x3 ;

5.60.6x12 +5x22 + 7x32 − 4x1x2 + 4x1 x3 ;

5.61.11x12 +5x22 + 2x32 +16x1x2 + 4x1 x3 −20x2 x3 ;

5.62.x12 + x22 +5x32 −6x1x2 −2x1 x3 + 2x2 x3 .

Записать данное уравнение второго порядка в матричном виде и определить, фигуру какого типа (эллиптического, гиперболического, параболического) оно определяет

5.63.x2 −3xy + 2 y2 −4x +5 = 0;

5.64.4x2 + 4xy + y2 − x +5y = 0;

5.65.3x2 − 2xy + y2 + 2x − y −1 = 0;

5.66.2 y2 + xy −3x + 4 y +3 = 0;

5.67.3x2 − 4xy −2 y2 +3x −12 y −7 = 0;

5.68.4x2 +5xy +3y2 − x +9 y −12 = 0;

5.69.x2 −6xy +9 y2 −12x +36 y + 20 = 0;

5.70.4x2 + 4xy + y2 −8x − 4 y − 21 = 0;

5.71.3x2 −6xy + 2 y2 − 4x + 2 y +1 = 0;

5.72.6x2 + 4xy + y2 + 4x − 2 y + 2 = 0;

5.73.2x2 +10xy +12 y2 −7x +18y −15 = 0;

5.74.3x2 −8xy +7 y2 +8x −15y + 20 = 0 .

39

Построить в прямоугольной системе координат Оху фигуру, определяемую данным уравнением, предварительно приведя его к каноническому виду

5.75. 3x2 − 2xy +3y2 −4x +12 y +10 = 0; 5.76. x2 +6xy + y2 + 4 2x +8 2 y −1 = 0;

5.77.5x2 +12xy +3 13x −36 = 0;

5.78.x2 −2xy + y2 + 4x −4 y + 4 = 0;

5.81.9x2 −24xy +16 y2 −10x +55y = 0;

5.82.7x2 + 48xy −7 y2 −10x +10 y = 0;

5.83. x2 − 2xy + y2 + 2 2x + 2 y = 0;

5.84. 9x2 −24xy +16 y2 −15x + 20 y + 6 = 0 .

Каждую из квадратичных форм исследовать на знакоопределенность

5.85.x12 + 2x22 −2x1x2 ;

5.86.x12 + 2x22 −6x1x2 ;

5.87.x12 −3x22 +3x32 + 2x2 x3 − x1 x2 ;

5.88.6x12 +3x22 +5x32 + 2x1 x2 + 4x1 x3 − 2x2 x3 ;

5.89.−8x12 −5x22 −6x32 + 4x1x2 −2x1 x2 + 2x2 x3 ;

5.90.x12 −2x22 +3x32 − 4x42 + x1 x4 +6x2 x3 ;

5.91.2x12 +3x22 − x32 + 2x1x2 + 2x1 x3 ;

5.92.2x12 +5x22 + 2x32 + 4x1x2 + 4x1 x3 −2x2 x3 ;

5.93.5x12 +5x22 +5x32 +5x42 −10x1 x2 + 2x1 x3 + 6x1 x4 + 6x2 x3 ;

5.94.4x12 +3x22 + 6x32 −6x1 x2 −6x1 x3 + 2x2 x3 ;

5.95.−x12 + 2x1x2 − 4x22 ;

5.96.12x1x2 −12x1x3 + 6x2 x3 −11x12 −6x22 −6x32 .

40