Теория вероятностей и математическая статистика _ учебн

3.44.Определить ожидаемый размер средней страховой выплаты по страховому портфелю, если предполагается, что размеры страховых выплат являются случайными величинами, распределенными по нормальному закону с дисперсией 22 500. Известно, что 28 % страховых выплат по портфелю имеют размер более

1тыс. ден. ед.

3.45.Размер страховой выплаты по портфелю договоров имущественного страхования подчиняется нормальному закону распределения: ожидаемая средняя выплата – 375 ден. ед., стандартное отклонение – 25 ден. ед. Найти вероятность того, что размер страховой выплаты составит: а) от 300 до 425 ден. ед.; б) не более

450ден. ед.; в) больше 300 ден. ед.

3.46.Страховщикполагает, чтоубытки отогневыхрисков подчиняются экспоненциальному распределению, которое характери-

зуется функцией распределения: FY(x) = 1 – e– x, x > 0. Требуется найти плотностьраспределения.

3.47.Среднее значение ущерба от огневых рисков по объекту за год оценивается страховщиком в размере 50 ден. ед. Определить: а) вероятность предъявления иска по страховой выплате в сумме

70ден. ед.; б) вероятность того, что предъявленный иск будет не более 70 ден. ед.

3.48.Найти ожидаемую доходность и стандартное отклонение доходности портфеля, состоящегоиз30% акций компанииА и 70% акций компании В, если их доходности независимы и равны, соответственно, 25 % и 10 %, а стандартные отклонения – 10 % и 5 %.

79

4.МНОГОМЕРНЫЕСЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ

4.1. Функция распределения многомерной случайной величины

Очень часто результаты испытания характеризуются не одной случайной величиной, а некоторой системой случайных величин Х1, Х2, …, Хn, которую называют многомерной случайной величиной или случайным вектором X = (Х1, …, Хn).

П р и м е р ы

1.Успеваемостьвыпускника вуза характеризуетсясистемойnслу-

чайныхвеличинX1,X2,…, Xn –оценкамипоразличным дисциплинам, выставленнымивдипломе.

2.Погодав данномместевопределенноевремясутокможетбыть

охарактеризована системой случайных величин: X1–t, °C; X2 –влаж- ность; X3 – скорость ветра; X4 – давление.

Случайныевеличины, входящиев систему, могутбытькакдискретными, таки непрерывными.

С о в м е с т н а я ф у н к ц и я р а с п р е д е л е н и я вектора случайной величины – это совместная вероятность того, что:

Fx1, x2 ,..., xn (x1, x2,..., xk ) p((X1 x1) (X2 x2) (Xk xk )).

Если это двумерная случайная величина, т. е. (X, Y), то

FXY (x, y) = P((X < x) (Y < y)).

Геометрическая интерпретация распределения FXY (x,y) представлена на рис. 19 и означает вероятность попадания случайной точки (x, y) в заштрихованную область – бесконечный квадрат, лежащий левее и ниже точки (x, y).

80

Свойствафункции распределения:

1. Совместная функция распределения лежит в промежутке от 0 до 1, т. е.

0Fx1, x2 ,..., xn (x1, x2,..., xk ) 1.

2.Неубывающая по всем аргументам.

3.F( ) limF(x), тогда

x

FX ( ,..., ) 0 или FX ( , x2,..., xk ) 0.

y

b

а x

Рис.19

4.FX(+ , + , ..., + ) = 1.

5.Если устремитькбесконечности какие-тоаргументы (невсе), томы получим функцию распределения подсистемы из оставшихся аргументов:

FX(+ , + , ..., + , xk) = FXk(xk).

Если k = 5, то

FX1, X2, X3, X4, X5 (x1, x2, , , x5) FX1, X4, X5 (x1, x4, x5).

6. Если случайные величины x1,x2, …, xk независимы, то совместная величина:

FX1, ..., Xk (x1,..., xk ) FX1 (x1) FX2 (x2) ... FXk (xk ).

81

4.2. Двумерное дискретное распределение

Закон распределения:

pij = р((X = xi)(Y = yj)).

Если X и Y независимы, то:

pij = р((X = xi)(Y = yj)) = р(X = xi) p(Y = yj) = pxi pyj...

pij = 1;

Найдем закон распределения одновременных случайных величин XиY:

82

EY=3,3; varY=0,81.

0,47 0,2 0,05 случайныевеличиныXиYзависимы.

Условные законы распределения:

pij

pyj|xi p(Y yj | X xi) pyj .

П р и м е р

Впредыдущем примере найдемY|X=0 иY|X=1.

E Y | X 1 pY|X 1 y 3,0189.

Утверждение. Если X и Y независимы, то условные законы распределения совпадают с безусловными.

4.3.Условное математическое ожидание

вусловных законах распределения

Ко р р е л я ц и я – видстатистической зависимости, при которой математическое ожидание первой случайной величины зависит от того, какое математическое ожидание имеет другая случайнаявеличина.

83

т и ч н о с т ь.

Математическое ожидание и дисперсия случайных величин X и Y недостаточно полно характеризуют двумерную случайную величину, так как не выражают степень зависимости ее составляющих Х и Y. Эту роль выполняет к о в а р и а ц и я:

сov(X,Y) E (X EX )(Y EY ) .

Утверждение. Cov(X,Y) E (X EX )(Y EY ) E(XY) EX EY.

Доказательство:

E (X EX)(Y EY) E(XY XEY YEX EXEY

E(XY) E(XEY ) E(YEX) E(EXEY)

E(XY) EXEY EXEY EXEY E(XY) EX EY.

Утверждение доказано.

Утверждение. Cov(X,X) var(X).

Ковариацияпоказываетналичиелинейнойкорреляционнойсвязи между X и Y. На рис. 20, так как больше точек там, где производная положительна, следовательно, cov(X, Y) > 0. На рис. 21, так как больше точек там, где производная отрицательна, следова-

тельно, cov(X, Y) < 0.

На рис. 22 и 23 представлены случаи, когда cov(X, Y) = 0.

Свойстваковариации:

1. Сov(X, Y) – величина детерминированная.

Сov(X, Y) > 0 значит, что функция Е[Y|X] возрастает (с ростом X, Y, в среднем, растет).

Сov(X, Y) < 0 значит, что функция Е[Y|X] убывает (с ростом X, Y, в среднем, убывает).

84

Утверждение. Если X и Y независимы, то cov(X, Y) = 0. Отметим, что обратное верно не всегда.

Утверждение. X и Y независимыи нормальны cov(X, Y) = 0.

2.Сov(X, X) = var(X).

3.Сov(X, Y) = cov(Y, X).

4.Cov(aX bY,Z) acov(X,Z) bcov(Y,Z),где X, Y, Z – слу-

чайныевеличины.

С помощью ковариации можно дополнить и уточнить некоторые свойства дисперсии.

85

Утверждение. Var(X Y) var(X) var(Y) 2cov(X,Y);

var(X Y) var(X) var(Y) 2cov(X,Y).

Введемпонятие к о э ф ф и ц и е н т а к о р р е л я ц и и:

Свойствакоэффициентакорреляции:

1.|Corr(X,Y)| 1.

2.Sign(corr(X,Y) sign(cov(X,Y)).

Утверждение. Если corr(X,Y) 0 cov(X,Y) 0 E(Y X)

убывает; если corr(X,Y) 0 cov(X,Y) 0 E(Y X) возрастает.

Утверждение. Если X и Y независимы, то corr(X, Y) = 0.

Утверждение. Если X и Y независимы и нормальны, то corr(X, Y) = 0.

Если corr(X, Y) = 0 и cov(X, Y) = 0, то переменные не коррелируют линейно (отсутствует линейная зависимость, однако может наблюдаться другой видзависимости, например, параболоидный).

3.|Corr(X,Y)| 1 X,Y линейно зависимы: Y = aX + b.

Причем,еслиb> 0 corr(X,Y)= 1, а если b< 0 corr(X, Y)=–1.

4.Отлинейногопреобразованияможетпоменятьсятолькознак линейнойкорреляции:

|сorr(a bX,Y)| |corr(X,Y)|.

Рассмотрим U X EX ; V Y EY – нормированные пере-

X Y

менные.

Утверждение. Нормирование не влияет на корреляцию, т. е. corr(X, Y) = corr(U, V).

86

М а т р и ц а ков а р и а ц и й выглядит следующим образом:

Свойстваматрицыковариаций:

1.Симметричная, положительно определенная матрица.

2.Y = a + HX, тогда EY = a + H E(X).

Пр и м е р

Требуетсянайти var(2X–5Y) и cov(X+2Y; –3Y+4Z).

Решение:

var(2X–5Y)=var(2X)+var(5Y)–2сov(2X;5Y)=

=4var(X)+25var(Y)–20сov(X;Y)=4 4+ 25 16 –20 1=396.

Найти cov(X + 2Y; –3Y + 4Z) предлагается читателю самостоятельно.

87

4.4. Двумерная непрерывная случайная величина

Двумерная непрерывная случайная величина (X, Y) задается

совместной функцией распределения FXY(x, y) = p((X < x) (Y< y)). Тогда совместная функция плотности имеет вид:

fXY (x,y) 2FXY (x, y).

x y

Свойства совместной функции плотности двумерной непрерывнойвеличины:

1. fXY(x, y) 0.

2. fXY (x, y) dxdy 1.

3.X и Y – независимы fXY(x, y) = fX(x) fY(y).

4.Зная совместную плотность fXY(x, y), можнонайти и н д и -

f (x) E[Y | X] y fY|X (x, y)dy.

88