Теория вероятностей и математическая статистика _ учебн

3.Var(X + C) = varX.

4.Var(CX) = C2varX.

5.Если X, Y – независимые, то var(X + Y) = varX + varY,

var(X – Y) = varX + (–1)2varY = varX + varY.

Среднее квадратическое отклонение

Дисперсия имеет размерность квадрата случайной величины, что не всегда удобно, поэтому принято использовать квадратный корень из дисперсии, который назвали с р е д н и м к в а д р а -

ти ч е с к и м о т к л о н е н и е м:

х varX.

Пр и м е р ы

1.х 0,81 0,9.

2.Z=8X–5Y+7. НайтиvarX,еслиХиYнезависимые,иvarX=1,5

иvarY=1.

Решение:varZ=64varX+25varY=64 1,5+25 1=12,1.

3. Пустьежедневныерасходынаобслуживаниеирекламуавтомобилейвавтосалонесоставляютвсреднем 120тыс.ден.ед., ачислопродаж Хавтомашинв течение дняподчиняется законураспределения:

p 0,25 0,2 0,1 0,1 0,1 0,1 0,05 0,05 0,025 0,025

Найтиматематическое ожиданиеежедневнойприбыли прицене машины150тыс. ден.ед.

Решение. Ежедневная прибыль подсчитывается по формуле

П=(150X–120).

Искомая характеристика Е(П) находится с использованием указанных ранее свойств математического ожидания (в тысячах денежныхединиц):

Е(П)=Е(150Х–120)=150Е(Х)–120= =150 2,675–120=281,25.

49

Теперь приведем интерпретацию математического ожидания и дисперсии в ф и н а н с о в о м а н а л и з е.

Известно распределение доходности Х некоторого актива (например, акции), т. е. известны значения доходности xi и соответствующие их вероятности pi за рассматриваемый промежуток времени. Тогда математическое ожидание отражает среднюю (прогнозную) доходность актива, а дисперсия или среднее квадратическое отклонение – меру отклонения, колебания доходности от ожидаемого среднего значения, т. е. риск данного актива.

3.5. Числовые характеристики некоторых дискретных случайных величин

1. Распределение Бернулли.

k!

EX = , varX = 2.

50

3.6. Непрерывные случайные величины

Ранее мы рассматривали случайные величины, которые принимают изолированные или дискретные значения. Кроме таких случайных величин встречаются и другие случайные величины, например, которые принимают значения из некоторого интервала. Для описания таких случайных величин вводят понятие функции распределенияслучайной величины.

Пусть Х – некоторая случайная величина.

Функцию FX(x0) = P(x < х0) называют ф у н к ц и е й р а с - п р е д е л е н и я вероятностей случайной величины (интеграль-

ной функцией). В дальнейшем, если понятно, окакой функции распределения идет речь, мы будем обозначать эту функцию F(x). Функция распределения содержит всю вероятностную информациюослучайной величине.

П р и м е р Дискретнаяслучайная величина:

Графикинтегральной функциираспределенияприведеннарис. 5.

1,2

1

0,8

0,6

0,4

0,2

Рис.5

51

Свойствафункции распределенияслучайной величиныХ:

1.0 F(x) 1.

2.F(x) – неубывающая функция, т. е. если x2 x1, то F(x1) F(x2). Покажем это. Пусть x2 > x1, тогда

P(x < х2) = P(x < х1) + P(x1 х < х2); P(Х < х2) – P(Х < х1) = P(x1 Х < х2); F(х2) – F(х1) = P(x1 х < х2) 0.

Следствие. Вероятность того, что случайная величина примет значения из интервала [a, b), равна P(а х < b) = F(b) – F(a).

П р и м е р

0,x 1;

тогда P(0 х < 2) = F(2) – F(0) = 0,5.

3. F(x) 0, если x – ; F(x) 1, если x + .

Если случайная величина может принимать значения только из интервала (a, b), то

F(x) = 0, если x < a и F(x) = 1, если x > b.

Х – н е п р е р ы в н а я с л у ч а й н а я в е л и ч и н а, если еефункция распределения кусочно-дифференцируема.

Утверждение. Вероятность того, что непрерывная случайная величина Х примет определенноезначение, равна нулю.

Доказательство. Действительно,

P(x1 х х1 + х) = F(x1 + х) – F(x1); х 0,

тогда, посколькуХ– непрерывнаяслучайнаявеличина,тоР(Х= х1) = = F(x1) – F(x1) = 0. Утверждение доказано.

52

Для непрерывных случайных величин можно ввести, кроме функции распределения случайной величины, еще и плотность распределения.

П л о т н о с т ь р а с п р е д е л е н и я случайной величи-

ны Х – функция fX(x) = FX(x).

Если в дальнейшем будет понятно, о какой случайной величине идет речь, мы будем обозначать плотность распределения случайной величины Х простоf(x).

b

Теорема. P(a x b) f (x)dx.

Утверждение. Зная плотность распределения случайной величины,можнонайти функциюраспределения.

x0

F(x0 ) f (x)dx, так как F(x0) = P(x < x0) = P(– < x < x0) =

x0

f (x)dx.

Свойствадифференциальной функции распределения:

1. f(x) . Следует из того факта, что функция распределения неубывающая.

Если случайнаявеличина принимаетзначениятолькоизинтер-

b

вала (a, b), то f (x)dx 1.

a

Плотность распределения называют еще законом распределениянепрерывной случайной величиныпоаналогии сдискретными случайными величинами.

53

3.7. Числовые характеристики непрерывных случайных величин

Так же как и в случае дискретных случайных величин, полезно рассматривать некоторые характеристики случайных величин, которые описывают нашу случайную величину «в среднем». Необходимые характеристики приведены в следующей таблице.

(X) var(X).

Все свойства, которыемы рассматривали для дискретных случайных величин, остаются в силе.

П р и м е р ы

1. Дана плотность вероятностиy= f (x) некоторойслучайной величиныX. Требуется:

1)Определить, чемуравенпараметра.

2)Вычислить математическое ожидание, дисперсию и среднеквадратичноеотклонениеX.

3)Найти вероятностьпопадания случайнойвеличиныXвинтер-

вал[–0,5;0,5].

4)Построитьфункцию распределенияX.

5)Построить графикифункции и плотности распределения.

0,x 1;

54

1) Параметр а найдем из условия, которому должна удовлетво-

55

5) Построим графики функции и плотности распределения случайнойвеличины Х.

График плотности распределения Хизображен на рис. 6.

3

2,5

2

1,5

1

0,5

Рис.6

График функции распределения Х показан на рис. 7.

–0,2

Рис.7

2. Известно, чтовпартиииз 20телефонныхаппаратов 5недействующих.Случайнымобразом изэтойпартиивзято4аппарата.Постро- итьзаконраспределенияслучайнойвеличиныХ–числанедействующих аппаратовиз отобранных. Найтидисперсию этой величины. Вкаких единицахона измеряется?Построитьинтегральную функциюраспределения случайнойвеличины Х, многоугольник распределения.

56

СлучайнаявеличинаХ–числонедействующихаппаратовизотоб- ранныхчетырех. Даннаяслучайнаявеличина–дискретная,принимаю- щая следующие возможные значения:

х1 = 0– среди отобранных аппаратоввсе работающие; х2 =1 –средиотобранныхаппаратов толькоодиннедействующий;

х3 =2 –средиотобранныхаппаратов ровнодванедействующих; х4 = 3 –средиотобранныхаппаратов ровнотри недействующих; х5 = 4 –всечетыреотобранных аппарата недействующие.

Найдем вероятности, с которыми случайная величина Х принимает свои значения, для чего воспользуемся классическим определением вероятности.

Для всех пяти случаев элементарными исходами являются любые комбинации четырех телефонов из 20 телефонов. Число элементарныхисходов:n=C420 = 4845.

Благоприятныеисходы:

1)набор изчетырех работающихтелефонов: m1 =C415 = 1365;

2)набор из трех работающих телефонов и одного неработаю-

щего: m2 C153 C51 2 275;

3) набор из двух работающих телефонов и двух неработающих:

m3 C152 C52 1050;

4)набориз одногоработающеготелефона и трехнеработающих:

m4 C151 C53 150;

5)набор из четырехнеработающих телефонов: m5 C54 5. Итак:

Законраспределенияслучайнойвеличины–переченьвозможных значений случайной величины с соответствующими вероятностями.

57

Законраспределения случайной величины Х–числа неработающихтелефонныхаппаратов из отобранныхчетырех:

Тогда E(Х)= p1x1 +... +pnxn = 0 0,2817 + 1 0,4696 + 2 0,2167 + +3 0,031+4 0,001=1.

Найдем дисперсиюслучайной величины, воспользовавшисьследующей формулой:

varX E(X 2 ) (EX )2 p1x12 ... pn xn2 (EX )2

0 0,2718 1 0,4696 4 0,2167 9 0,031 16 0,001 1 0,63.

Найдем интегральнуюфункцию распределенияслучайной величины.

Fx(x0) = P(x < х0) – функция распределения случайной величиныХ.

ломаная линия, соединяющая точки с координатами (xi, pi).

58