- •Задание 1.1 анализ и расчёт электрической цепи постоянного тока
- •1.1. Краткие теоретические положения и примеры выполнения отдельных этапов задания 1.1
- •1.1.2. Состав электрической цепи. Любая электрическая цепь состоит из следующих элементов:
- •1.1.3. Топологические параметры схем цепей. При анализе электрических схем пользуются следующими топологическими параметрами схем:
- •Задание 1.2 анализ и расчёт однофазной цепи переменного тока
- •1.2. Краткие теоретические положения и примеры выполнения отдельных этапов задания 1.2
- •Задание 1.3 расчёт трёхфазного приёмника электрической энергии
- •Т а б л и ц а 1.3 (продолжение)
- •1.3. Краткие теоретические положения и примеры выполнения отдельных этапов задания 1.3
1.3. Краткие теоретические положения и примеры выполнения отдельных этапов задания 1.3
1.3.1. Основные определения. Трёхфазная цепь – это совокупность трёхфазной системы ЭДС, трёхфазной нагрузки (нагрузок) и соединительных проводов. Трёхфазной системой ЭДС (напряжений) называют систему, состоящую из трёх (однофазных) электрических цепей, в которых действуют три синусоидальные ЭДС одной и той же частоты, равные по амплитуде и сдвинутые по фазе относительно друг друга на угол 2/3 (120). Три ЭДС создаются в неподвижных обмотках, размещённых в пазах статора трёхфазного генератора под углом 120 относительно друг друга, при вращении ротора с намотанной на него катушкой, по которой протекает постоянный ток.
Под фазой трёхфазной цепи понимают участок цепи, по которому протекает одинаковый ток. Под фазой будем также понимать аргумент (t ) синусоидальной функции. Таким образом, в зависимости от рассматриваемого вопроса, фаза это либо участок трёхфазной цепи, либо аргумент синусоидальной функции.
1 .3.2. Схемы соединения фаз трехфазных генератора и приёмника. Обмотки статора трёхфазного генератора соединяют по схеме звезда (Y) (рис. 1.3.1а, слева) или треугольник () (рис. 1.3.1б, слева). Трёхфазная нагрузка (приёмник) также может быть соединена по схеме звезда или треугольник (рис. 1.3.1а и б, справа). Электрические величины, относящиеся к генератору, будем снабжать индексами из прописных букв А, B и C, а величины, относящиеся к трёхфазному приёмнику, индексами из строчных букв а, b и c.
Провода, соединяющие точки А и а, B и b, С и с, называют линейными (провод А, провод B и провод С), соответственно и токи в них IA, IB, IC называют линейными. Провод, соединяющий точку N (нейтраль генератора) с точкой n (нейтралью приёмника) (см. рис. 1.3.1а), называют нейтральным (иногда, нулевым), а ток IN в нём током в нейтральном проводе.
1.3.3. Схемы соединения фаз генератора и приёмника звездой. Для упрощения анализа процессов в трёхфазной цепи будем пренебрегать сопротивлениями линейных и нейтрального проводов и считать источники напряжения (рис. 1.3.2, слева) с ЭДС EA, EB и EC идеальными. Напряжения между линейными проводами называют линейными: UAB, UBC, UCA, а между каждым из линейных проводов и нейтральным фазными: UA, UB, UC генератора и Ua, Ub, Uc приёмника (второй индекс N или n опускают). Условно положительные направления ЭДС, линейных и фазных напряжений и токов в четырёхпроводной схеме звездазвезда (YY) указаны на рис. 1.3.2.
При принятых допущениях фазные напряжения трёхфазного приёмника в схеме YY с четырьмя проводами (называемой соединением звезда-звезда с нейтральным (нулевым) проводом) равны фазным напряжениям генератора, т.е.
Ua = UA, Ub = UB, Uc = UC,
а так называемое напряжение смещения нейтрали между точками n и N равно нулю (UnN = 0).
Если сопротивления фаз приёмника одинаковые (см. рис. 1.3.2), т.е.
то нагрузка называется симметричной. В этом случае модули фазных токов одинаковые и равны соответствующим линейным токам:
Ia = Ib = Ic = Iф = IА = IВ = IС = Iл = Uф /Zф, (3.1)
где Uф = Ua = Ub = Uc = UA = UB = UC модули фазных напряжений приёмника и трёхфазного генератора.
Н а рис. 1.3.3а приведена векторная диаграмма напряжений и токов трёхфазного приёмника при симметричной нагрузке, носящей активно-ёмкостный характер: .
Как напряжения так и токи Ia, Ib, Ic составляют симметричные звёзды, поэтому сумма комплексов фазных токов
IN = Ia + Ib + Ic = 0, (3.2)
т.е. ток в нейтральном проводе равен нулю и нейтральный провод можно отключить. В результате получим эквивалентную трёхпроводную систему включения приёмника с генератором по схеме YY.
Для соединения фаз приёмника звёздой (см. рис. 1.3.3а) очевидно соотношение между линейными и фазными токами:
Iф = Iл. (3.3)
Выведем соотношения между линейными и фазными напряжениями для соединения приёмника и генератора по схеме YY (четырёхпроводная схема). Согласно 2ЗК имеем (см. рис. 1.3.2 и рис. 1.3.3а)
UAB = UA UB = Uab = Ua Ub,
UBC = UВ UС = Ubc = Ub Uc,
UCA = UC UA = Uca = Uc Ua .
Если рассмотреть один из треугольников (рис. 1.3.3б), то легко вывести соотношение между линейным и фазным напряжениями, а именно:
(3.4)
т. е. фазное напряжение в раз меньше линейного и отстаёт от него по фазе на угол 30 (точнее, вектор напряжения Ua отстаёт по фазе от вектора Uab, вектор Ub от вектора Ubc, а вектор Uc от вектора Uca,, см. рис. 1.3.3а).
В четырёхпроводной системе при несимметричной нагрузке, в которой комплексные сопротивления фаз Za Zb Z c (например, Za = jXa, Zb = Rb jXb и Zc = = Rc jXc), фазные напряжения приёмника равны соответствующим фазным напряжениям генератора, т.е.
Ua = UA, Ub = UB, Uc = UC,
а фазные токи различны и равны:
.
Ток в нейтральном проводе (рис. 1.3.4)
IN = Ia + Ib + Ic. (3.5)
Пример 1.3.1. В схеме рис. 1.3.5а линейное напряжение нагрузки Uл = 380 В. Модули сопротивлений фаз нагрузки равны Zф = 110 Ом, но имеют различный характер: Za = R, Zb = jXL, Zс = jXC. Найти токи и мощности фаз и приёмника, ток IN в нейтральном проводе, в том числе и при обрыве фазы «с».
Р ешение. 1. Фазные напряжения приёмника:
2. Комплексы токов фаз
3. Построим векторную диаграмму напряжений и токов приёмникa.
В н и м а н и е! При построении векторных диаграмм напряжений и токов в трёхфазной цепи комплексную плоскость поворачивают против хода часовой стрелки на 90 и направляют по оси действительных чисел (вертикально вверх) вектор напряжения Ua = Ua = Uф фазы «а» (или комплекс Uab фазы «ab» при соединении фаз приёмника по схеме треугольник). Векторы напряжений и вычерчивают в комплексной плоскости в соответствии с их аргументами.
В цепи ( см. её схему на рис. 1.3.5а) ток Iа совпадает по фазе с напряжением Ua, ток Ib отстаёт по фазе от напряжения Ub на 90, а ток Ic опережает по фазе напряжение Uс на 90 (рис. 1.3.5б).
4. Комплекс тока в нейтральном проводе равен сумме комплексов фазных токов, т.е.
IN = Iа + Ib + Ic = =
= 2 + 4(-0,866) = -1,464 = A.
5. Комплекс тока в нейтральном проводе при обрыве фазы «с» равен сумме комплексов фазных токов Iа и Ib, т.е.
IN = Iа + Ib =
= 2 2(-0,866) + j20,5 = 0,268 + j = 1,035ej75 A.
6. Векторная диаграмма напряжений и токов приёмника при обрыве фазы «с» представлена на рис. 1.3.5в.
7. Комплексные мощности фаз приёмника:
Sa = Ua = 220 2 = 440 BA (Pa = 440 Вт, Qa = 0),
Sb = Ub = = 440cos270 j440sin270 BA = j440 BA
(Pb = 0, Qb = 440 вар).
Sс = Uс = = 440cos270 + j440sin270 BA = j440 BA
(Pс = 0, Qс = - 440 вар).
8. Комплексная мощность приёмника, фазы которого соединены звездой,
SY = Sa + Sb + Sс = 440 + j440 j440 = 440 BA (PY = 440 Вт, QY = 0).
2 .7.3. Схема соединения фаз генератора и приёмника треугольником. Пусть обмотки трёхфазного генератора и трёхфазный приёмник соединены по схеме треугольник (схема соединения ) (рис. 1.3.6). Так как три ЭДС генератора равны по модулю и сдвинуты по фазе на 120 относительно друг друга, то сумма трёх комплексов ЭДС в замкнутом треугольнике А-В-С-A равна нулю, т. е. EAB + EBC + ECA = 0. Поэтому, если к зажимам А, В и С не присоединена нагрузка, то по обмоткам генератора не будет протекать уравнительный ток.
Как видно из рис. 1.3.6, в такой схеме возможно только трёхпроводное соединение трёхфазного приёмника с генератором, последний может быть соединён звездой. На этом же рисунке показаны условно положительные направления линейных и фазных напряжений и токов в системе соединения .
Фазные напряжения приёмника, фазы которого соединёны треугольником, равны соответствующим линейным напряжениям генератора:
Uab = UAB, Ubc = UBC,
Uca = UCA, Uф = Uл, (3.6)
а модули фазных токов приёмника при симметричной нагрузке (Zab = Zbc = Zca = Zф = Rф + jXф):
Iab = Ibc = Ica = Iф = . (3.7)
Согласно первому закону Кирхгофа для точек а, b и с (см. рис. 1.3.6) линейные токи:
IA = Iab Ica,
IB = Ibc Iab,
IC = Ica Ibc. (3.8)
При симметричной нагрузке комплексы как фазных, так и линейных токов составляют симметричные звёзды (рис. 1.3.7), а соотношение модулей между ними
Iл = Iф, Iф = , (3.9)
При несимметричной нагрузке фазные токи различны:
Iab = Ibc = Ica = (3.10)
где
Линейные токи рассчитывают по формулам (1.3.8). При несимметричной нагрузке линейные токи могут быть как больше, так и меньше фазных токов нагрузки. Заметим, что сумма комплексов линейных токов всегда равна нулю, т.е.
IA + IB + IC = 0. (3.11)
Пример 2.3.2. Трёхфазный потребитель энергии (рис. 1.3.8) с сопротивлениями фаз Zab = 10 Ом, Zbc = 10 + j10 = , Zca = 10 j5 = Ом соединён треугольником и включён в трёхфазную сеть с линейным напряжением Uл = 380 В. Определить фазные и линейные токи, мощности фаз и приёмника и построить векторную диаграмму токов и напряжений, в том числе и при обрыве фазы «bс».
Решение. 1. Комплексы фазных токов:
Iab = = 38 A,
Ibc = А,
Ica =
2. Комплексы линейных токов:
IA = Iab Ica = 38
IB = Ibc Iab =
IC = Ica Ibc
3. Комплексы фазных и линейных токов при обрыве фазы «bc»:
Iab = 38 A, Ibc = 0, Ica
IA = Iab Ica = IB = Ibc Iab = -Iab = -38 A,
IC = Ica Ibc = Ica
4. Комплексные мощности фаз:
Sab = Uab = 380 38 = 14440 BA (Pab = 14,44 кВт, Qab = 0),
Sbc = Ubc = 380 = 10220 BA = 10,21 кBA
(Pbс = Sbсcos45 = 10,21 0,707 = 7,22 кВт, Qbс = Sbсsin45 = 10,21 0,707 = 7,22 квар),
Sca = Uca = 380 = 12882 BA 12,88 кBA
(Pсa = Sсacos26,5 = 12,88 0,895 = 11,53 кВт,
Qсa = -Sсasin26,5 = -12,88 0,446 = -5,75 квар),
5. Комплексная мощность, потребляемая приёмником,
S∆ = Sab + Sbc + Sca = 14,44 + 10,21 + 12,88 =
= 14,44 + 7,22 + j7,22 + 11,53 - j5,75 = 33,19 + j1,47 = 33,22 кBA,
где активная мощность приёмника Р∆ = 33,19 кВт и реактивная индуктивная мощность Q∆ = 1,47 квар.
6. Векторные диаграммы напряжений и токов приемника энергии при нормальной работе и при обрыве фазы «bc» приведены на рис. 1.3.8б и на рис. 1.3.8в.