Математический маятник –
идеализированная система, состоя- щая из невесомой, нерастяжимой нити ( l ), на которую подвешена масса ( m ), сосредоточенная в одной точке (шарик на длинной тонкой нити). При отклонении маятника от вертикали, возникает возвращающая сила F mg sin и уравнение
движения принимает вид:
ma mg sin
где |
a v l |
- тангенциальное |
|||
|
|
||||
|
|
|
ускорение |
||
Уравнение движения маятника: |
|||||
|
|
|
|
g |
|
|
|
|
|
||
ml mg sin |
|
l sin |
|||
|
|
|
|
||
Так как рассматриваются только малые отклонения
( sin ), уравнение движения маятника:
gl 0
Решение этого уравнения - гармонические колебания: Acos( 0t 0 )
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
g |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
с частотой 0 |
|
; периодом |
|
T 2 |
l |
|
|
|
|||
l |
|
g |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
СЛОЖЕНИЕ ГАРМОНИЧЕСКИХ КОЛЕБАНИЙ ОДНОГО НАПРАВЛЕНИЯ И ОДИНАКОВОЙ
ЧАСТОТЫ
Колеблющееся тело может участвовать в нескольких колебательных процессах. Тогда необходимо найти результирующее колебание, иными словами, колебания необходимо сложить. Сложим гармонические колебания одного направления и одинаковой частоты:
x1 A1 cos( 0t 1)x2 A2 cos( 0t 2 )
Для этого воспользуемся геометрическим способом –
методом векторных диаграмм
Метод векторных диаграмм
Гармонические колебания можно представить несколькими способами: аналитически, графически,
геометрически с помощью вектора амплитуды – метода векторных диаграмм. В последнем случае колебание
представляется в виде вектора, вращающегося с частотой
0 , длина которого равна амплитуде колебаний А, а сам
вектор составляет с опорной осью Ох угол 0 , равный |
|
начальной фазе при t 0 . |
x Acos( 0t 0 ) |
|
|
x0 |
x0 Acos 0 |
|
|
Проекция этого вектора на ось Ox описывает гармоничес- |
|
кое колебание |
x Acos( 0t 0 ) |
Пусть точка одновременно участвует в двух |
|
гармонических |
колебаниях одинаковой частоты, |
направленных вдоль одной прямой:
x1 A1 cos(ω0t φ1) и x2 A2 cos(ω0t φ2 )
A A1 A2
-результирующее колебание, тоже гар- моническое, с часто- той 0
x Acos( 0t )
По правилу сложения векторов найдем суммарную амплитуду, результирующего колебания (теорема косинусов):
A2 A12 A22 2A1A2 cos(φ2 φ1)
Амплитуда А результирующего колебания зависит от
разности начальных фаз. Их разность фаз не зависит от времени: φ2 φ1 const
Такие два колебания называются когерентными.
Начальная фаза результирующего колебания определяется из соотношения:
|
tg |
A1 sin 1 |
A2 sin 2 |
|
|
||
|
A cos |
|
|
||||
|
|
A cos |
2 |
|
|
||
|
1 |
1 |
2 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
Рассмотрим несколько простых случаев
1.Разность фаз равна нулю или четному числу π , то есть
2 1 2 n где n 0, 1, 2, 3, ...
Тогда
cos( 2 1 ) 1
и
A A1 A2
колебания
синфазны
и будет max
2. Разность фаз равна нечетному числу π , то есть
|
2 1 (2n 1) где |
n 0, 1, 2, 3, ... |
|
|
Тогда |
|
|
cos( 2 1) 1 |
|
|
|
|
Отсюда |
|
|
A A2 A1
колебания в противофазе и будет min
Свободные затухающие механические
колебания
Все реальные колебания являются затухающими. Энергия механических колебаний постепенно расходуется на работу против сил трения и амплитуда колебаний уменьшается.
|
|
Fупр = —kx |
Сила трения (или |
|
|
|
сопротивления): |
k |
|
v |
|
m |
|
||
|
|
|
Fтр r |
|
|
|
X |
0 |
|
x |
где r – коэффициент |
|
Fсопр |
|
сопротивления |
|
v |
υ – скорость |
|
|
|
движения