4676

касательной на этом интервале (рис 1.7).

Рис 1.7

Точка графика непрерывной функции y f (x) , отделяющая выпуклую часть графика от вогнутой части графика, называется точкой перегиба графика (точка M на рис 1.7).

Интервалы выпуклости и вогнутости находят с помощью следующей теоремы.

Теорема 1.10 (достаточные условия выпуклости и вогнутости).

Если во всех точках интервала (a,b) функция y f (x) имеет отрицательную вторую производную, то есть f (x) 0 , то график этой функции является выпуклым (выпуклым вверх) на интервале (a,b) .

Если во всех точках интервала (a,b) функция y f (x) имеет положительную вторую производную, то есть f (x) 0 , то график этой функции является вогнутым (выпуклым вниз) на интервале (a,b) .

Точки перегиба находят с помощью следующих теорем.

13

Приведенная схема исследования не является обязательной. Иногда (в более простых случаях) достаточно выполнить лишь несколько операций, например 1, 3, 4. В более сложных случаях можно дополнительно исследовать функцию на периодичность, построить дополнительно некоторые точки графика, выявить другие особенности функции. Иногда целесообразно сопровождать исследование поэтапным построением графика или отдельных его частей.

1.2. Практическая часть

схеме:

1. Область определения функции.

В область определения исследуемой функции не входят лишь те значения

y f (x) , то эта функция называется нечетной. График нечетной функции

14

Видим, что y( x) y(x) для любого x из области определения функции. Поэтому функция четная, еѐ график симметричен относительно оси ординат.

3. Точки пересечения графика функции с осями координат.

Для нахождения точек пересечения графика с осью Ox решим систему

точкой пересечения графика функции с осью Ox .

Для нахождения точки пересечения графика функции с осью Oy решим

4. Исследование функции по производной первого порядка (интервалы монотонности, точки экстремума).

Найдем первую производную функции:

Результаты исследования занесем в таблицу:

Итак, функция возрастает на каждом из интервалов ( ; 5) , ( 5;0) и убывает на интервалах (0;5) , (5; ) . В точке x2 0 производная меняет знак с «+» на «−», следовательно, x2 0 − точка максимума функции. Значение функции в этой точке ymax(0) 0 .

5. Исследование функции по производной второго порядка (выпуклость,

вогнутость, точки перегиба графика). Найдем вторую производную функции:

16

y 0 , если 3x2 25 0 . Это уравнение не имеет решения.

интервала: ( ; 5) , ( 5;5) , (5; ) . Определим знак производной y на каждом

является вогнутым на данном интервале. Аналогично определяем, что y 0 на

Результаты исследования занесем в таблицу:

Точек перегиба на графике функции нет.

6. Вертикальные асимптоты графика функции

Исследуемая функция имеет две точки разрыва. Это точки x1 5 и x3 5, в которых функция не определена. Вычислим пределы функции в точке x1 5 слева и справа:

18

Четность функции облегчает построение графика: строим часть графика функции для значений x [0;5) (5; ) , а затем отображаем эту часть графика симметрично относительно оси ординат и получаем весь график.

Для уточнения графика рассмотрим несколько дополнительных точек:

Рис. 1.8

9. Множество значений функции.

Вид графика (см. рис. 1.8) позволяет сделать вывод, что множество значений функции E( y) ( ;0] (5; ) .

1.3. Индивидуальные задания

Исследовать методами дифференциального исчисления функции и на основании полученных результатов построить их графики.