4571

2

УДК 629.113 Кадырметов А. М. Теоретические основы ремонта [Электронный ресурс]:

методические указания к выполнению расчетно-графической работы для студентов

по направления подготовки 23.03.03 – Эксплуатация транспортно-технологических

машин и комплексов, профиль Автомобили и автомобильное хозяйство / А. М.

Кадырметов, Д. А. Попов. / Воронеж, гос. лесотехн. универ. – Воронеж, 2018. – 28 с.

– ЭБС ВГЛТУ

Печатается по решению учебно-методической комиссии по укрупненной группе «Транспортные средства»

ФГБОУ ВО «ВГЛТУ» (протокол № ___ от ________ 2018 г.)

Зав. кафедрой эксплуатации транспортных и технологических машин ФГБОУ ВО «ВГАУ имени императора Петра I»,

докт. техн. наук Е. В. Пухов

3

Планирование активного эксперимента

и построение регрессионной модели

1. Цель работы

Изучить основные положения теории планирования эксперимента, методику построения полного и дробного факторного эксперимента, методику построения уравнения регрессии.

2.Задание

1)Изучить основные положения теории планирования эксперимента и статистической обработки его результатов.

2)В соответствии с заданием составить уравнение регрессии, коэффициенты которого необходимо найти.

3)Привести пример использования данного вида уравнения из области эксплуатации и ремонта автомобилей, т. е. расписать все факторы хi и выходную величину (отклик) у.

4)Рассчитать количество опытов плана эксперимента и его избыточность.

5)Построить планы эксперимента 1-го и 2-го порядка.

6)Рассчитать коэффициенты линейного и нелинейного уравнений регрессии.

7)Подготовить устно ответы на контрольные вопросы.

8)Написать отчет по требуемой форме (п. 3.1.6) и сделать соответствующие выводы по полученным результатам.

3.Оборудование, инструмент, материалы

1)Персональный компьютер.

2)Оборудование для проведения триботехнических и физико-механических исследований материалов и покрытий (в соответствии с конкретной лабораторной работой по заданию).

4.Общие положения

4

Эмпирические исследования включают в себя этапы подготовки к проведению эксперимента, проведения эксперимента и его статистической обработки. Содержание работ на этих этапах зависит от вида эксперимента [1]. Существует 2 вида эксперимента – пассивный и активный.

Пассивный эксперимент – это эксперимент, при котором уровни факторов в каждом опыте регистрируются исследователем, но не задаются.

Активный эксперимент – это эксперимент, в котором уровни факторов в каждом опыте задаются исследователем.

В этих определениях используются термины «фактор» и «уровень фактора». Фактор – это переменная величина, по предположению влияющая на

результаты эксперимента.

Уровень фактора – фиксированное значение фактора относительно начала отсчета.

Цель статистической обработки заключается в нахождении математической зависимости отклика от факторов с учетом ошибок наблюдения отклика.

Откликом называется наблюдаемая случайная переменная, по предположению зависящая от факторов.

Данная зависимость отклика от факторов может быть найдена методами регрессионного, дисперсионного и ковариационного анализа. В регрессионном анализе данная зависимость называется регрессионной зависимостью или уравнением регрессии.

Регрессионный анализ – статистический метод анализа и обработки экспериментальных данных при воздействии на отклик только количественных факторов, основанный на сочетании аппарата метода наименьших квадратов и техники статистической проверки гипотез. Метод наименьших квадратов в регрессионном анализе используется для нахождения коэффициентов уравнения регрессии.

Дисперсионный анализ – статистический метод анализа и обработки экспериментальных данных при воздействии на отклик только качественных факторов, основанный на использовании техники статистической проверки гипотез и представления общей вариации экспериментальных данных в виде суммы вариаций, обусловленных исследуемыми факторами и их взаимодействиями.

Ковариационный анализ — статистический метод анализа и обработки экспериментальных данных при воздействии на отклик как количественных, так и

5

качественных факторов, основанный на сочетании элементов регрессионного и дисперсионного анализа.

Данные виды анализа включают в себя:

определение общего вида искомого уравнения;

построение статистических оценок неизвестных параметров (коэффициентов уравнений) и, в том числе, проверку значимости этих параметров;

проверку статистических гипотез об уравнении зависимости.

Одной из таких проверок является проверка адекватности уравнения (математической модели).

Адекватностью математической модели называется соответствие модели экспериментальным данным по выбранному критерию.

Неадекватность представления результатов эксперимента обусловлена несоответствием между видом уравнения, описывающим поверхность отклика, и действительным характером этой поверхности. Обычно в качестве искомых зависимостей используют полиномы. В этом случае говорят о неадекватности представления результатов эксперимента полиномом данной степени.

Перед нахождением зависимости отклика от факторов в общем случае должно быть определено наличие связи между факторами и откликом. Эту задачу решает корреляционный анализ.

Корреляционный анализ – совокупность основанных на математической теории корреляции методов обнаружения корреляционной связи между случайными величинами. Данные методы включают в себя проверку статистических гипотез о значимости связи между факторами и откликом.

Корреляция - вероятностная (статистическая) зависимость между величинами, не имеющая, вообще говоря, строго функционального характера. В отличие от функциональной, корреляционная зависимость возникает тогда, когда одна из величин зависит не только от данной второй, но и от ряда случайных факторов, или когда среди условий, от которых зависит и та и другая величины, имеются общие для них обоих условия.

Проклятие размерностей

Наиболее часто встречающейся исследовательской задачей на практике является задача определения вида зависимостей или закономерностей, когда

6

исследуемая величина (величины) «y» зависит от многих факторов x1, x2,..., то есть задача отыскания математической модели

y f x1 , x2 ,...,xn .

Традиционный подход в определении вида модели заключался в проведении однофакторных экспериментов по определению сначала частных зависимостей y1 f1 x1 , y2 f 2 x2 , ... yn f n xn , когда меняется поочередно один фактор, а остальные фиксируются, а затем уже происходит обобщение математической модели.

Однако с ростом числа факторов и их уровней варьирования катастрофически возрастает число необходимых опытов. Это возрастание получило образное название «проклятия размерностей» [2]. Полное количество опытов определяется по формуле

n qk ,

где q – число уровней варьирования каждого фактора; k – количество факторов.

несколько десятилетий. Другой пример – на установление закона равноускоренного движения S=at2/2. Галилей затратил более 25 лет своей жизни.

Проход через «проклятие размерностей» указал Рональд Фишер, английский статистик в 1925-1929 гг. Он предложил одновременно варьировать все факторы.

Однако этот подход не был задействован до начала 60-х годов прошлого века. Лишь в это время возникла настойчивая необходимость уменьшения затрат времени на проведение исследований. С этого момента теория планирования эксперимента (ТПЭ) начала и продолжает бурно развиваться до настоящего времени.

Анализ априорной информации

7

Перед тем, как проводить экспериментальные исследования, необходимо выявить всю имеющуюся и накопленную человечеством информацию по существу изучаемого вопроса.

Частично эта задача формализуется, а именно, большую часть информации можно выявить из информационных литературных и патентных исследований.

Однако большая часть работы по выявлению априорной (имеющейся до опыта) информации является «скрытой» от исследователя, и здесь необходимо «догадаться» использовать те или иные сведения, подчас из других областей знаний.

В ТПЭ все принимаемые решения, основанные на догадках, аналогиях, ассоциациях, различных косвенных соображениях, наводящих на мысль,

называются эвристическими [3].

Если для принятия решения нет никаких данных, и его приходится принимать на собственный страх и риск, то его называют волевым. Эти понятия являются в значительной степени субъективными, зависящими от таланта исследователя.

Важнейшими задачами при анализе априорной информации являются: а) выбор влияющих факторов и их интервалов варьирования; б) выбор вида математической модели.

При выборе влияющих факторов часто используется метод экспертных оценок (ранжирования), заключающийся в том, что различные специалисты после опроса оценивают по шкале значимости, по их мнению, существенные факторы. После анализа такой информации выбираются наиболее значимые факторы.

В качестве математической модели чаще всего используют аддитивную

(линейную) и мультипликативную модели:

или

yˆ b0 x1b1 x2b2 ...xkbk ,

где хi – факторы регрессионной модели, bi – коэффициенты регрессии, y – значение функции (отклик). Последняя модель после логарифмирования легко преобразуется в аддитивную модель.

Следует отметить, что большая часть физических явлений описывается мультипликативными моделями.

Таким образом, на этапе анализа априорной информации проводится выбор вида математической модели, выбор влияющих факторов и их интервалов

8

варьирования. Эти процедуры являются неформализуемыми, субъективными и сильно зависящими от таланта исследователя этапами работы.

Планирование эксперимента, его проведение и статистическая обработка

Вотличие от предыдущего следующие этапы хорошо разработаны для моделей 1-го и 2-го порядков. Этот этап является хорошо формализуемым, то есть для его проведения существуют методики, правила поведения и рекомендации для экспериментатора в тех или иных случаях. Для этого этапа имеются алгоритмы и пакеты прикладных программ. Построение планов эксперимента первого и второго порядка рассматриваются далее в этом разделе.

Вслучае использования аддитивной модели последующими этапами являются

[4]:

1) Составление матрицы планирования.

2) Проведение эксперимента согласно матрице плана эксперимента.

3) Статистическая обработка результатов эксперимента:

a)Поиск коэффициентов регрессии с использованием метода наименьших квадратов (МНК), суть которого заключается в нахождении коэффициентов регрессии, обеспечивающие минимум функции:

n 1

где yn , yˆ n – соответственно экспериментальные значения отклика и рассчитанные по регрессионной модели.

Для линейчатой модели

коэффициенты регрессии определяются по формулам:

где N – количество проведенных опытов;

n – порядковый номер опыта.

10

Рекомендации по выбору средств измерений

Повышение точности эксперимента и степени адекватности его модели может быть достигнуто не только использованием методики ТПЭ и увеличения числа повторных опытов, но и за счет использования более точной аппаратуры СИ. Однако здесь надо исходить из понятия эффективности эксперимента как отношения достигнутого эффекта к затратам при проведении эксперимента [3].

Разброс исходных данных ИД всегда складывается из 3-х составляющих: 0

– диффузности объекта измерения (невоспроизводимости или среднеквадратического отклонения воспроизводимости), М – погрешности адекватности модели и С.И . – погрешности средств измерений.

Если эти погрешности некоррелированы (статистически независимы), то

ИД 20 2М 2С.И . .

Задача состоит в рациональном выборе средств измерений с точки зрения их точности. Для простоты рассуждений примем, что М С.И. и М 0 . Тогда возможны три случая:

a) Очень точная аппаратура С.И . 0 . При этом ИД 20 2С.И . 0

и разброс полностью определяется диффузностью (нестабильностью параметнов) объекта. Это плохо, т.к. для усреднения результата надо провести большое число опытов, но излишне точная аппаратура требует и большего времени измерений.

эффективность статистической обработки сильно возрастает с увеличением n . Однако надо помнить, что систематические погрешности ( М и часть С.И . ) не уменьшаются.

c) При С.И . 0 ИД 2С.И . 20 С.И . . Если порядок ИД устраивает экспериментатора, то нет необходимости в организации многократных измерений и их статистическом усреднении.