4174

21

2.4.3. Порядок выполнения задания 2.4.3.1. Пример расчета

Партия изготовленных изделий, качество которых необходимо проконтролировать, состоит из N = 50 штук. Производитель и заказчик договорились, что если в изготовленной партии изделий содержится не более q0 = 0,1 дефектных изделий, то партия считается качественной. Если в изготовленной партии изделий содержится более q1 = 0,2 дефектных изделий, то партия считается бракованной. Если в изготовленной партии изделий содержится более q0 = 0,1 и менее q1 = 0,2 дефектных изделий, то партию можно считать удовлетворительного качества. Поставщик согласен на риск α = 0,1, а заказчик согласен на риск β = 0,1. Определить приемочное (А0) и браковочное (А1) числа дефектных изделий в выборке объемом n = 20 изделий.

Партия изготовленных изделий небольшая (N < 100), а относительный объем выборки велик (n/N = 0,4), то контроль необходимо проводить, исходя из гипергеометрического распределения, т.е. расчеты проводить по формулам (16) и (17).

Определяются исходные данные, необходимые для решения задачи: N = 50 – объем изготовленной партии;

п = 20 – объем выборки;

q0 = 0,1 – значение границы, определяющей изготовленную партию изделий, как качественную;

qi = 0,2 – значение границы, определяющей изготовленную партию изделий, как дефектную;

D0 = N ∙ q0 = 50 ∙ 0,1 = 5 – максимальное число дефектных изделий в качественной партии;

D1 = N ∙ q1 = 50 ∙ 0,2 = 10 – минимальное число дефектных изделий в не качественной партии;

α = 0,1 – риск производителя; β = 0,15 – риск заказчика.

Для определения приемочного числа А0 воспользуемся формулой (16). В этой формуле произведем суммирование вероятностей гипергеометрического распределения до тех пор, пока накопленная вероятность не приблизится к величине

22

Величины вероятностей для каждого d определятся из следующих соотношений:

Суммирование значений и сравнение со значением (26) проводим в следующем порядке:

Р(d 0) = 0.067 < 0,9;

P(d l) = 0,067 + 0,258 = 0,325 < 0,9;

P(d 2) = 0,067 + 0,258 + 0,364 = 0,689 < 0,9;

P(d 3) = 0,067 + 0,258 + 0,364 + 0,234 = 0,923 > 0,9;

P(d 4) = 0,067 + 0,258 + 0,364 + 0,234 + 0,069 = 0,992 > 0,9.

Принимая во внимание условие (26), определяем, что А0 = 3.

Для определения браковочного числа Ai воспользуемся формулой (17). В этой формуле произведем суммирование вероятностей гипергеометрического распределения до тех пор, пока накопленная вероятность не приблизится к величине

23

Величины вероятностей для каждого d определятся из следующих соотношений:

Суммирование значений и сравнение со значением (27) проводим в следующем порядке:

P(d<=0) = 0,003 < 0,1;

P(d<=l) = 0,003 + 0,028 = 0,031 < 0,1;

P(d<=2) = 0,003 + 0,028 + 0,096 = 0,127 > 0,1.

Принимая во внимание условие (27), определяем, что А1 – 1 = 2 или А1 = 3.

2.4.3.2. Вывод В данном примере приемочное и браковочное числа получились одинако-

выми А0 = Ai = 3. Это значит, что одиночный контроль не может производиться одновременно в интересах поставщика и заказчика. Защита интересов потребителя может привести к требованию браковочного числа меньшего, чем приемочное число при контроле в интересах поставщика.

2.4.3.3. Контрольные вопросы

1.Что такое ошибки первого и второго рода?

2.Какие необходимы действия, если в результате расчетов приемочное число получается больше, чем браковочное?

3.В каких случаях целесообразно применять метод однократной выбор-

ки?

24

Практическое занятие № 3

3.1.Тема № 3. Анализ влияния профилактики на надежность технической

системы

3.2.Цель работы

На практическом примере определить степень влияния профилактики на надежность технической системы.

3.3. Теоретическая часть

Профилактика применяется с целью продления периода эксплуатации системы. Соотношения для расчета стационарных показателей надежности системы с учетом проведения профилактик. Средняя наработка на отказ Тс, среднее время восстановления Твс и коэффициент готовности Кгс вычисляются по формулам:

где Т2 – время между профилактиками; Тв2 – время проведения профилактики; Кг1(Т2) – функция готовности системы в момент времени Т2; m1(Т2) – средняя суммарная наработка системы в течение времени Т2; М1(Т2) – среднее суммарное число отказов системы в течение времени Т2.

Из приведенных соотношений следует, что для системы с постоянной интенсивностью отказов проведение профилактики оказывается лишним, более того, оно даже уменьшает коэффициент готовности системы. Поэтому проведение профилактик в этом случае нецелесообразно. Профилактические работы

25

могут быть выгодны только для систем с неэкспоненциальным законом распределения времени до отказа. Критерием такой выгоды является выполнение неравенства:

Если для заданных значений Т2 и Тв2 это неравенство имеет место, то проведение профилактики целесообразно. Если это неравенство оказывается неверным, то профилактика лишь уменьшает готовность системы. В этом случае надо выяснить два вопроса:

–существует ли частота профилактики, для которой справедливо неравенство (31);

–при положительном ответе на первый вопрос определить оптимальное время между профилактиками Т2опт, для которого коэффициент готовности системы достигает максимального значения.

По формулам (28) … (30) можно рассчитать показатели надежности без использования математических пакетов только для случая постоянных интенсивностей отказов и восстановлений системы. Однако как раз при этом применять профилактику и не нужно.

Исходными данными являются параметры распределений. Для решения требуется знание математического ожидания и среднего квадратического отклонений этих распределений. Соответствующие формулы содержатся в табл. 8.

Таблица 8

Связь параметров распределений

26

3.4. Практическая часть

3.4.1. Задание

Дано: закон распределения времени безотказной работы системы и его параметры; закон распределения времени восстановления системы и его параметры; Т2 – среднее время между очередными профилактиками, в часах; Тв2 –

–функцию готовности системы Кг1(t);

–среднее суммарное число отказов системы М1(t);

–среднюю суммарную наработку системы m1(t) за время t. Определить для системы с профилактикой:

–коэффициент готовности Кгс, наработку на отказ Tс и среднее время восстановления Твс;

–зависимость коэффициента готовности системы от частоты профилактики для различных значений времени ее проведения в виде таблицы и графика;

–оптимальное значение частоты профилактики Т2опт, при которой коэффициент готовности системы Кгс превышает коэффициент готовности Kг1 системы без профилактики и имеет при этом наибольшее значение.

Кроме определения характеристик требуется построить зависимости этих характеристик от времени и дать анализ полученных зависимостей.

3.4.2. Контрольные вопросы

1.Перечислите законы распределения времени безотказной работы системы и их параметры.

2.Какая существует зависимость коэффициента готовности системы от частоты профилактики?

29

В табл. 10 Г(t) – гамма-функция, I(a,t) – неполная гамма-функция. Показатели надежности системы зависят от закона распределения време-

ни восстановления системы и величины временного резерва и не зависят от закона распределения времени безотказной работы. Заметим, что временные показатели надежности зависят от закона распределения времени безотказной работы.

Таким образом, расчетные соотношения для всех основных показателей надежности системы с пополняемым временным резервом у нас есть. Однако проведение вычислений без использования компьютерных средств затруднительно, да и нецелесообразно.

4.4. Расчетная часть

4.4.1. Задание Дано: восстанавливаемая система с пополняемым временным резервом;

закон распределения времени безотказной работы системы; закон распределения времени восстановления системы; tрез – величина пополняемого временного резерва, в часах.