4165

3 Диагностическая матрица в методе Байеса (метод Биргера)

Для определения вероятностей диагнозов по методу Байеса необходимо составить диагностическую матрицу (табл. 1), которая формируется на основе предварительного статистического материала. В этой таблице содержатся вероятности разрядов признаков при различных диагнозах.

Если признаки двухразрядные (простые признаки “да-нет”), то в таблице достаточно указать вероятность появления признака P(kj/Di). Bepоятность отсутствия признака P(k j / Di ) 1 P(k j / Di ) .

s 1

вероятностей всех возможных реализаций признака равна единице.

В диагностическую матрицу включены априорные вероятности диагнозов. Процесс диагностирования в методе Байеса состоит в формировании диагностической матрицы и ее анализе. Важно предусмотреть возможность

12

уточнения таблицы в процессе диагностики. Для этого в памяти ЭВМ следует хранить не только значения P(kjs /Di ), но и следующие величины: N – общее число объектов, использованных для составления диагностической матрицы; Ni

– число объектов с диагнозом Di; Nij – число объектов с диагнозом Di, обследованных по признаку kj. Если поступает новый объект с диагнозом Dμ, то проводится корректировка прежних априорных вероятностей диагнозов следующим образом:

Далее вводятся поправки к вероятностям признаков. Пусть у диагностируемого объекта с диагнозом Dμ выявлен разряд r признака kj. Тогда для дальнейшей диагностики принимаются новые значения вероятности интервалов признака kj при диагнозе Dμ:

Условные вероятности признаков при других диагнозах корректировки не требуют.

4 Решающее правило Решающее правило – правило, в соответствии с которым принимается

решение о диагнозе. В методе Байеса объект с комплексом признаков K* относится к диагнозу с наибольшей (апостериорной) вероятностью

Символ Є, применяемый в функциональном анализе, означает принадлежность множеству. Условие (22) указывает, что объект, обладающий данной реализацией комплекса признаков K* или, короче, реализация K*

13

принадлежит диагнозу (состоянию) Di. Правило (22) обычно уточняется введением порогового значения для вероятности диагноза:

где Рi – заранее выбранный уровень распознавания для диагноза Di. При этом вероятность ближайшего конкурирующего диагноза не выше 1 Рi. Обычно принимается Pi 0,9 . При условии

решение о диагнозе не принимается (отказ от распознавания).

Метод Байеса имеет недостатки, заключающиеся в том, что он имеет повышенные погрешности при распознавании редких диагнозов. Для их уменьшения в практических расчетах целесообразно провести диагностику, положив диагнозы равновероятными

Тогда наибольшим значением апостериорной вероятности будет обладать диагноз Di , для которого P(K*/Di) максимальна:

Иными словами, устанавливается диагноз Di, если данная совокупность признаков чаще встречается при диагнозе Di, чем при других диагнозах. Такое решающее правило соответствует методу максимального правдоподобия. Из предыдущего вытекает, что этот метод является частным случаем метода Байеса при одинаковых априорных вероятностях диагнозов. В методе максимального правдоподобия “частные” и “редкие” диагнозы равноправны. Для надежности распознавания условие (24) должно быть дополнено пороговым значением

где Pi – заранее выбранный уровень распознавания для диагноза Di.

14

Задача 3. Метод Биргера в определении состояния объекта

Пусть при наблюдении за газотурбинным двигателем проверяются два признака: k1 повышение температуры газа за турбиной более чем на 50 0С и k2увеличение времени выхода на максимальную частоту вращения более чем на 5 с. Предположим, что для данного типа двигателей появление этих признаков связано либо с неисправностью топливного регулятора (состояние D1), либо с увеличением радиального зазора в турбине (состояние D2).

При нормальном состоянии двигателя (состояние D3) признак k1 не наблюдается, a признак k2 наблюдается в 5 % случаев. На основании статистических данных известно, что 80 % двигателей вырабатывают ресурс в нормальном состоянии, 5 % двигателей имеют состояние D1 и 15 % – состояние D2. Известно также, что признак k1 встречается при состоянии D1 в 20 %, а при состоянии D2 в 40 % случаев; признак k2 при состоянии D1 встречается в 30 %, а при состоянии D2 – в 50 % случаев.

Решение. Сведем эти данные в диагностическую таблицу 2. Найдем сначала вероятности состояний двигателя, когда обнаружены оба признака k1 и k2. Для этого, считая признаки независимыми, применим формулу (13).

Вероятность диагноза D1 при условии, что проявились оба признака k1 и k2

15

отсутствует), но увеличивается время выхода на максимальную частоту вращения (признак k2 наблюдается). Отсутствие признака k1 есть признак

вероятности состояний в том случае, когда оба признака отсутствуют. Аналогично предыдущему получим

рассматриваемые признаки не являются для них детерминирующими. Из проведенных расчетов можно установить, что при наличии признаков k1 и k2 в двигателе с вероятностью 0,91 имеется состояние D2, т. е. увеличение радиального зазора. При отсутствии обоих признаков наиболее вероятно нормальное состояние (вероятность 0,92). При отсутствии признака k1 и наличии признака k2 вероятности состояний D2 и D3, примерно одинаковы (0,46 и 0,41) и для уточнения состояния двигателя требуется проведение дополнительных обследований.

Сводное решение данной задачи в виде электронной таблицы Excel представлено на рис. 3.

5 Метод последовательного анализа

При использовании метода Байеса для распознавания состояний D1 и D2 следует составить отношение (для независимых признаков):

P(D2 / K * ) .

P(D1 / K * )

16

Согласно формулам (11) и (13) следует, что

Исходные данные

Рис. 3. Сводное решение задачи в виде электронной таблицы Excel

Условие (28) после подстановки в него формулы (27) принимает вид:

17

В методе последовательного анализа рассматриваемые отношения вероятностей признаков (отношения правдоподобия) составляются не сразу, а в последовательном порядке; поэтому, как правило, требуется меньшее число обследований.

Если обозначить верхнюю границу принятия решения через А:

а P(D2 )

где kа>1, то условие (29) для принятия решения K*ЄD2 примет вид

Аналогично, для принятия решения K*ЄD1 требуется выполнение условия

где В – нижняя граница принятия решения:

P(D )

В kв P(D1 ) , kв 1. (33)

2

Общая процедура метода

Пусть проведено ν-1 обследований, которые еще на дали возможности принятия решения о диагнозе, то есть условия (31) и (32) не выполняются:

Если после ν-го обследования выполняется условие

18

то принимается решение об отнесении объекта к диагнозу D2: K*ЄD2. Если после ν-го обследования

то объект относится к диагнозу D1: K*ЄD1. Для сокращения объема обследований следует вначале проводить обследование по наиболее информативным признакам.

Связь границ принятия решения с вероятностями ошибок первого рода («ложной тревоги», то есть принятия исправного объекта в качестве неисправного) и второго рода («пропуском дефекта», то есть принятия неисправного объекта в качестве исправного) осуществляется с помощью зависимостей:

где α и β – вероятности ошибок 1-го и 2-го рода соответственно. В практических расчетах часто принимают α = β = 0,05 или α = β = 0,10.

Задача 4. Метод последовательного анализа в определении состояния объекта

Определить состояние объекта (исправность Ди или неисправность Дни) к моменту выработки его ресурса методом последовательного анализа при следующих исходных данных: вероятность исправного состояния объекта Р(Ди) = 0,6; вероятности для признака k1 равны: Р(k1 / Ди) = 0,1, Р(k1 / Дни) = 0,5; вероятности для признака k2 равны: Р(k2 / Ди) = 0,8, Р(k2 / Дни) = 0,6. Обследование проводится сначала на наличие или отсутствие у объекта признака k1, а затем – признака k2. Пусть признак k1 у объекта присутствует,

19

признак k2 – отсутствует, а вероятности ошибок 1-го и 2-го рода равны друг другу: α = β ≤ 0,1.

Решение. В соответствии с зависимостями (37) и (38) при α = β = 0,1 верхняя и нижняя границы принятия решения о диагнозе должны быть: А = 9 и В = 0,11. Следовательно, принимаем А = 9 и В = 0,11.

Определим отношение правдоподобия при наличии признака k1:

Видно, что условия (35) и (36) не выполняются, и решение о диагнозе принять невозможно. Тогда дополнительно проводим обследование по признаку k2, (точнее, в соответствии с условием задачи, по его отсутствию k2), т. е. находим новое отношение правдоподобия:

В этом случае выполняется условие (35), следовательно, объект неисправен.

2 ПОРЯДОК ПРОВЕДЕНИЯ РАБОТЫ

1.Выбрать вариант задания по п. 2 (см. прил. А).

2.Изучить методический материал.

3.Последовательно по выданному варианту заданий выписать исходные данные и провести статистическую обработку исходных данных в каждой задаче. В задаче 3 построить диагностическую матрицу по форме в соответствии с примером п. 4.3 (см. прил. Б).

4.Провести анализ результатов статистической обработки в каждой задаче. Сделать выводы.

20

3 СОДЕРЖАНИЕ ОТЧЕТА

В отчет занести:

1.Содержание статистической обработки исходных данных для каждой из четырех задач. Для задачи 3 дополнительно диагностическую матрицу по форме в соответствии с примером п. 3 (см. прил. Б).

2.Анализ полученных результатов в каждой из 4-х задач. В задаче 3 провести анализ, во-первых, по наиболее вероятным диагнозам (по строкам матрицы) для каждого сочетания параметров, во-вторых, по сочетаниям параметров (по столбцам матрицы) для каждого из диагнозов и, в-третьих, на соответствие полученных результатов решающему правилу. Выводы.