4136
.pdf
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1 |
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1 3 |
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4 |
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1 |
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1 |
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e |
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1 |
1 |
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3 |
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3 |
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3 |
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... 1 |
1 |
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1 |
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1 |
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1 |
... . |
|||||||||||||||||
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3 |
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3 e |
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||
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3 |
2! |
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|
3! |
|
4! |
3 |
18 |
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162 |
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1944 |
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|||||||||||||||||||||||
Так как последний |
|
знакочередующийся |
ряд удовлетворяет |
|
условиям |
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
теоремы Лейбница и |
1 |
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0,001, |
то, согласно замечанию 13.5, для |
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1944 |
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
приближенного вычисления |
значения |
1 |
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с точностью до 0,001 можно |
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3 |
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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e |
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ограничиться первыми четырьмя членами ряда, отбросив все |
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
последующие члены этого ряда: |
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1 |
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|
1 |
1 |
|
|
1 |
|
1 |
|
0,716. |
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||||||||||||||||
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|
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|||||||||||||||
|
3 e |
|
|
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3 |
18 |
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162 |
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1 |
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Пример 2.5. Вычислить x2 cos x dx с точностью до 0,001, разложив |
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0 |
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в ряд Маклорена подынтегральную функцию.
Решение. Воспользуемся разложением функции cos x в ряд Маклорена:
cos x 1 |
x2 |
|
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x4 |
|
|
x6 |
... . |
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2! |
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4! |
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6! |
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|||||||
Тогда |
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x2 cos x x2 |
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x4 |
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x6 |
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x8 |
... , |
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2! |
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4! |
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6! |
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|||||||
1 |
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1 |
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x |
4 |
|
|
x |
6 |
|
|
|
x |
8 |
1 |
1 |
x |
4 |
1 |
x |
6 |
1 |
x |
8 |
|
|||||
x2 cos x dx ( x2 |
|
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...)dx x2dx |
|
|
dx |
|
dx |
|
dx ... |
||||||||||||||||||
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||||||||||||||||||||
0 |
|
0 |
|
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|
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2! |
4! |
|
|
6! |
0 |
0 |
2! |
0 |
4! |
0 |
6! |
|
|||||||||||||||
|
|
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|
|
|
|
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x3 |
|
|
1 |
|
x5 |
|
1 |
|
x7 |
|
1 |
|
x9 |
|
1 |
|||
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|
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||||||||||||||||
|
5 2! |
|
|
|
7 4! |
|
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9 6! |
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|||||||
3 |
|
|
0 |
|
|
|
0 |
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|
|
0 |
|
|
|
0 |
||||
|
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|
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|
|
|
... |
1 |
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
1 |
... . |
|
3 |
10 |
168 |
6480 |
|||||||||
|
|
|
|
|
Так как последний ряд удовлетворяет условиям теоремы Лейбница и
1 |
0,001, |
то для |
приближенного |
вычисления |
значения |
|
|||||
6480 |
|||||
1 |
|
|
|
|
|
x2 cos x dx с |
точностью |
до 0,001 можно |
ограничиться |
первыми |
|
0 |
|
|
|
|
|
тремя членами ряда, отбросив все последующие члены этого ряда:
1 |
1 |
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
x2 cos x dx |
|
|
|
0,239. |
||||||
3 |
10 |
168 |
||||||||
0 |
|
|
|
|||||||
|
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Пример 8.6. Найти три первых, отличных от нуля, члена разложения в степенной ряд функции, являющейся решением дифференциального уравнения y x2 y2 1 при условии, что
Решение. Будем искать решение y( x ) в виде ряда Маклорена:
7. y( x ) y( 0 ) y ( 0 ) x y ( 0 ) x2 ... .
1! 2!
Подставляя в данное дифференциальное уравнение первого порядка начальные условия x 0 и находим, что Продифференцируем обе части исходного уравнения по переменной
x : |
y |
|
2xy |
2 |
2x |
2 |
|
|
x 0, y 1 |
и y |
|
1 получим |
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yy . При |
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|||||||||
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y ( 0 ) 0. Дифференцируем предыдущее уравнение: |
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||||||||||||
y 2y2 4xyy 4xyy 2x2 (( y )2 yy ). |
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||||||||||
|
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|
|
|
|
|
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|
|
|
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|
|
Используя начальные условия, получаем y ( 0 ) 2. |
|
|
|
||||||||||
Подставляя |
найденные |
значения |
производных |
в |
|
ряд Маклорена, |
получаем: y( x ) 1 x x3 ... .
3
2.2 ВАРИАНТЫ ИНДИВИДУАЛЬНЫХ ЗАДАНИЙ ПО ТЕМЕ «РЯДЫ»
ЗАДАНИЕ.
а) Пользуясь одним из признаков сходимости числовых рядов с положительными членами, установить, сходится или расходится данный ряд;
б) |
1 |
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1 |
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1 |
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1 |
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( 1)n 1 |
1 |
|
установить, сходится или |
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|
n (n2 |
|
||||||
|
2 |
|
10 |
|
30 |
|
68 |
|
1) |
расходится знакочередующийся ряд, если сходится, то выяснить, как он сходится (абсолютно или условно);
в) найти область сходимости степенного ряда;
г) пользуясь одним из разложений элементарных функций в ряд Маклорена, вычислить значение выражения с точностью до 0,001.
д) |
|
вычислить интеграл |
с точностью до 0,001, разложив в ряд Маклорена |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
подынтегральную функцию. |
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|
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Вариант 1 |
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|||||||||||||||||||||||
а) |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
, |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
32 |
|
4 33 |
|
|
(n 1) 3n |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
2 3 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
б) |
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
( 1)n 1 |
1 |
|
|
|
, |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
n2 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
4 |
|
|
|
|
7 |
|
12 |
|
|
|
19 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|||||||||||||||||||||||||||
в) x |
x2 |
|
|
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|
x3 |
|
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|
xn |
|
. |
|
|
|
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
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|
2 |
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
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|||||||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
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|
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|
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|
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1 |
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|
|
|
|
|
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|
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|
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||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
д) 3 |
|
|
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|
|
|
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||||||||||||||||
г) |
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x sin x dx |
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|||||||||||||||||||||||||
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|
|
e |
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||||||||||||||||||||||||||||||||
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|
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|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
Вариант 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
а) |
2 |
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
2 |
, |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1 |
|
3 |
3 |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
б) |
|
|
1 |
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
( 1)n 1 |
|
1 |
|
|
|
, |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2n 3 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
5 |
|
|
7 |
|
|
|
|
|
|
9 |
|
|
|
|
11 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
в) x |
|
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
x3 |
|
|
|
xn |
|
|
|
. |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
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|
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|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
3 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0,25 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
г) |
|
|
|
|
1,2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
д) |
|
|
|
|
x cos x dx |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
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||
Вариант 3 |
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Вариант 5 |
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Вариант 6 |
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Вариант 7 |
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Вариант 8 |
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Вариант 9 |
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n 3 |
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б) 1 |
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( 1)n 1 |
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2n2 1 |
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Вариант 10 |
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Вариант 11 |
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Вариант 12
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2n 3 |
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Вариант 13 |
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0 |
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Вариант 14 |
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а) |
3 |
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9 |
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27 |
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3n |
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, |
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22 |
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(n 1)2 |
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32 |
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42 |
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б) |
1 |
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1 |
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1 |
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1 |
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( 1)n 1 |
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1 |
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2 |
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6 |
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12 |
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20 |
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. |
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1 2 |
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2 4 |
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3 8 |
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n |
2n |
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0 |
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Вариант 15 |
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а) |
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1 |
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4 |
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42 |
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43 |
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4n |
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1 |
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1 |
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1 |
( 1)n 1 |
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1 |
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3 |
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5 |
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3 |
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2n xn |
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, |
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9 |
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n2 |
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г) |
ln1,3 |
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д) |
0,5 x cos x dx |
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0 |
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Вариант 16 |
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а) |
1 |
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1 |
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1 |
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1 |
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, |
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3 5 |
4 52 |
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5 53 |
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(n 2) 5n |
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б) |
1 |
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1 |
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1 |
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1 |
( 1)n 1 |
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1 |
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, |
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n3 1 |
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2 |
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9 |
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28 |
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65 |
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3 2 |
3 |
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3 |
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3 n |
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0,5 |
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г) |
cos1 |
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д) e 2 x2 dx |
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0 |
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Вариант 17 |
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||||||||||||||||||||||||||||
а) |
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8 |
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82 |
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83 |
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8n |
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, |
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n |
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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4 |
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5 |
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6 |
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3 |
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||||||||||||||||||||
б) |
1 |
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1 |
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1 |
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1 |
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( 1)n 1 |
1 |
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, |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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2 |
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5 |
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8 |
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11 |
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3n 1 |
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|||||||||||||||||||||||||
в) |
x |
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x2 |
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x3 |
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|
xn |
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, |
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3 1 |
32 22 |
33 32 |
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3n n2 |
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0,5 |
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|||||||
г) |
cos 0,75 |
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|
д) |
e x2 dx |
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0 |
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Вариант 18 |
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а) |
1 |
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Вариант 20 |
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Вариант 22 |
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n2 |
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( 1)n 1 |
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2n 1 |
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8 x3 |
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в) 2x x |
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Вариант 23 |
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(n 2) 5n |
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( 1)n 1 |
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x3 |
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