Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Воронежская государственная лесотехническая академия

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

4136

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

08.01.2021

Размер:

811.07 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 42 3 4 > Следующая >>>

	0								0								3		x
	0		dx						0						2		3			1
															2
1.							;	2.	( x 2) e3x dx ;					3. sin2 x cos x dx ;		4.	e 3					dx .

					5	3
	1 6x				5				2						0		0
Вариант 9.
	1	1		x					2			5		2			2			dx
		1		x						x4	e4 5 x				(9x 5) cos 2x dx ;					dx
					dx ;								dx ; 3.										.
1.								2.								4.
1.				2				2.								4.		cos			2
		3		2														cos				3x
	1								1					0			0

Вариант 10.


	1						3	cos x				1					1			dx
1.				4 5x dx ;		2.		cos x			dx ;	3. x e x dx ;				4.				dx		.

								sin	3	x
									3											x2 1
	12											0					0			x2 1
							6
Вариант 11.
	4			dx		1						3				3			dx
				dx		ex sin(ex ) dx ;							3. ln x dx ;			4.			dx
1.					; 2.																.
																		9 x2
			2x 1															9 x2
	0					0						1				0
Вариант 12.

	3					3										0
	3					2. 2					dx					0	x
1.																			e3x2 2 dx ; 4.
		4x 3 dx ;												;	3.
																	2

	1					1	2	(arcsin x)3				1 x2				1
							2

4 sin 4x dx .

Вариант 13.

2	dx		e	3		8	dx
1.	dx		2. x3 ln x dx ;	3. x2	x3 3 dx ;	4.	dx
		;						.
	3x 2	;					cos2 2x	.
1			1	1		0

Вариант 14.

				1							x						2	(5x 5)sin 3x dx ;							5		x5
1.						3						dx ;				2.								3.							dx ;							4.
1.						3						dx ;				2.								3.	7			2x	6		dx ;							4.
											3														7			2x
				3																					2
3 2					dx
					dx						.


				9		x2
				9		x2
2
Вариант 15.
		2					dx					2 ;		2.	(x 5) ln 5x dx ;						3.	x2			1			dx				2 .
1.							dx					2 ;		2.	(x 5) ln 5x dx ;						3.	x2	e1 x3 dx ; 4.					dx				2 .
															2							1				3
		0 1 2x													0							0				0 1 9x
Вариант 16.
	0														0																	3		x
	0						dx								0							2										3			1
																						2
1.													;	2.	( x 2) e3x dx ;						3.	sin2		x cos x dx ;				4.			e 3						dx .

				6x					5			3
	1			6x					5						2							0										0
Вариант 17.
	1		1					x							2				5		2							2							dx
			1					x								x4	e4 5 x					(9x 5) cos 2x dx ;													dx
										dx ;										dx ; 3.
1.														2.													4.												.
1.								2						2.													4.						cos			2			.
			3					2																									cos				3x
	1														1						0									0

Вариант 18.


	1					3	cos x					1		1	dx
1.				4 5x dx ;		2.	cos x			dx ;	3. x e x dx ;			4.	dx	.

							sin	3	x
								3							x2 1
	12											0		0	x2 1
						6
Вариант 19.
	2		dx			e					3			8	dx
			dx			x3 ln x dx ;					x2		x3 3 dx ;	4.	dx
1.					; 2.					3.							.
1.		3x 2			; 2.					3.					cos2 2x		.
	1					1					1			0

Вариант 20.

	1			x					2			5	x5				3 2			dx
1.		3			dx ;			2.	(5x 5)sin 3x dx ;		3.				dx ;	4.							.
													7 2x	6
														6
	3			3								2							9 x2
																	2
Вариант 21.
	2		dx			2 ;		2.	(x 5) ln 5x dx ;	3.	x2	e1 x3 dx ; 4.				1	dx	2 .
1.			dx			2 ;		2.	(x 5) ln 5x dx ;	3.	x2	e1 x3 dx ; 4.					dx	2 .
									2		1					3
	0 1 2x								0		0					0 1 9x
Вариант 22.
	0								0									3		x
	0		dx						0		2							3			1
											2
1.							;	2.	( x 2) e3x dx ;	3.	sin2 x cos x dx ;						4.	e 3				dx .

		6x 5				3
	1	6x 5							2		0							0

Вариант 23.

	1		1		x		2						5			2					2			dx
			1		x			x4	e4 5 x								(9x 5) cos 2x dx ;							dx
						dx ; 2.								dx ;
1.															3.				4.								.
1.					2										3.				4.				cos		2		.
			3		2																		cos			3x
	1						1									0					0
Вариант 24.

		1							3	cos x							1	1		dx
1.				4 5x dx ;			2.			cos x				dx ;		3.	x e x dx ;	4.		dx				.

										sin	3	x
											3									x2		1
	12																0	0		x2		1
									6

Вариант 25.

4	dx		1	3	3	dx
1.			2. ex sin(ex ) dx ;	3. ln x dx ;	4.
		;					.
						9 x2
	2x 1
0			0	1	0

Задание 2. Построить фигуру, ограниченную заданными линиями, и вычислить еѐ площадь.

Вариант 1.	y x2 x 1;	y x 2.
Вариант 2.	y x2 6x 4;		y 2x 1.
Вариант 3.	y x2 3x 1;		y 2x 3.
Вариант 4.	y x2 4x 9;		y x 3.
Вариант 5.	y x2 4x 5;		y 3x 1.
Вариант 6.	y x2 2x 9;		y 4x 1.
Вариант 7.	y x2 7x 3;		y x 5.
Вариант 8.	y x2 5x 17;		y 2x 5.
Вариант 9.	y x2 11x 9;		y 4x 3.
Вариант 10.	y x2 2x 3;		y x 1.
Вариант 11.	y x2 x 1;	y x 2.
Вариант 12.	y x2 6x 4;		y 2x 1.
Вариант 13.	y x2 3x 1;		y 2x 3.
Вариант 14.	y x2 4x 9;		y x 3.
Вариант 15.	y x2 4x 5;		y 3x 1.
Вариант 16.	y x2 2x 9;		y 4x 1.
Вариант 17.	y x2 7x 3;		y x 5.
Вариант 18.	y x2 5x 17;		y 2x 5.
Вариант 19.	y x2 11x 9;		y 4x 3.

Вариант 20.	y x2 2x 3;		y x 1.
Вариант 21.	y x2	x 1;	y x 2.
Вариант 22.	y x2	6x 4;	y 2x 1.
Вариант 23.	y x2	3x 1;	y 2x 3.
Вариант 24.	y x2	4x 9;	y x 3.

Задание 3. Вычислить объѐм тела, получающегося при вращении вокруг оси Ox фигуры, ограниченной линиями, уравнения которых заданы.

Вариант 1.

y sin x,

y 0,

x 0,

x .

Вариант 2.

xy 4,

y 0,

x 1,

x 4.

Вариант 3.

Вариант 4.

y 2

x2 ,

y 0.

Вариант 5.

y tgx,

y 0,

x .

Вариант 6.

y 0,

x 2,

x 8.

Вариант 7.

y cos x,

y 0,

Вариант 8.

y 0,

x 0,

x 3.

Вариант 9.

y ctgx,

y 0,

x .

Вариант 10.

Вариант 11.

Вариант 12.

Вариант 13.

Вариант 14.

Вариант 15.

Вариант 16.

Вариант 17.

Вариант 18.

Вариант 19.

Вариант 20.

Вариант 21.

Вариант 22.

Вариант 23.

Вариант 24.

y 4x x2 , y 0, x 0, x 3.

y sin x,

y 0,

x 0,

x .

xy 4,

y 0,

x 1,

x 4.

y 2

x2 ,

y 0.

y tgx,

y 0,

x .

y 0,

x 2,

x 8.

y cos x,

y 0,

x 0,

x 3.

y ctgx,

y 0,

x .

y cos x,

y 0,

x 0,

x 3.

y ctgx,

y 0,

x .

y 4x x2 ,

y 0,

x 0,

x 3.

y sin x,

y 0,

x 0,

x .

Вариант 25. xy 4,

y 0,

x 1,

x 4.

2. РЯДЫ

Пример 2.1. Пользуясь одним из признаков сходимости числовых рядов с положительными членами, установить, сходится или расходится ряд

				2
1	4	9	...	n	... .
2	3	4	...	n 1	... .
2	2	2		2

Решение. Применим к данному ряду с положительными членами признак Даламбера. Выпишем n –й и (n 1) –й члены ряда:

	n2				(n 1)2		(n 1)2
un			,	un 1						.
	2	n 1			2	(n 1) 1	2	n	2

Тогда

n 1

(n 1)

2n 1

(n 1)

2n 2

2n 1

2n 2

2 n2

Вычислим предел lim

n 1

lim

(n 1)

Так как 12 1, то данный ряд сходится.

Пример					2.2.		Установить,	сходится		или	расходится
знакочередующийся ряд
	1		1	1		1	... ( 1)n 1	1	... .
								n ( n2 1)
2		10 30 68

Если ряд сходится, то выяснить, как он сходится: абсолютно или условно.

Решение. Воспользуемся признаком Лейбница сходимости знакочередующегося ряда. Для данного в задаче ряда условия признака Лейбница выполнены:

	1	1		1		1		1		1
								n (n2		(n 1) ((n 1)2
2		10	30		68			n (n2	1)	(n 1) ((n 1)2	1)
и
lim un lim					1		0 .

					(n2 1)
n			n n		(n2 1)

Следовательно, знакочередующийся ряд сходится. В этом случае он сходится либо абсолютно, либо условно.

Установим вид сходимости (абсолютная или условная) знакочередующегося ряда.

По исследуемому знакочередующемуся ряду

1		1	1	1	... ( 1)n 1	1	...
						n ( n2 1)
2	10 30 68

составим ряд из абсолютных величин его членов

1		1	1	1	...	1	....
						n ( n2 1)
2	10 30 68

Последний ряд является числовым рядом с положительными членами. Применим к нему предельный признак сравнения. В качестве эталонного ряда выберем ряд

1 18 271 641 ... n13 ...,

который является обобщенным гармоническим рядом с 3 1 (это сходящийся ряд).

Так как

, v

n (n2 1)

то

lim

1 .

n v

n n (n2

n n2 1

n 1

Получили, что A 1( 0 A ). Согласно предельному признаку сравнения оба ряда ведут себя одинаково. Отсюда следует, что ряд, составленный из абсолютных величин, сходится. Следовательно, исходный знакочередующийся ряд сходится абсолютно.

Пример 2.3. Найти область сходимости степенного ряда

42 x2

...

4n xn

... .

3 2

3 3

3 n

Решение. Найдем радиус сходимости степенного

ряда по формуле

R lim

. В данной задаче

n 1

4n 1

n 1

3 n

n 1

поэтому

4n 3 n 1

1 n 1 1

1 1

R lim

lim

lim 3

4n 1

3 n

n 1

4 n

n 4

Следовательно, данный степенной ряд абсолютно сходится при

(то есть

при x

;

) и

расходится

при

а интервал

1 ;

является интервалом сходимости этого ряда.

Исследуем сходимость ряда на концах интервала сходимости.

При x 14 получаем знакочередующийся ряд

	1		1	( 1)n
1						.

	3 2	3		3
			3		n

Для этого ряда проверим выполнение двух условий признака Лейбница.

Сравним

. Так

как

n 3

n 1

при всех

n 1

3 n

3 n 1

натуральных

значениях

n ,

то

( n 1, 2, ...).

3 n

n 1

Следовательно, первое условие признака Лейбница выполнено.

Так

как

lim u

lim

0 ,

то

второе

условие

признака

Лейбница

n 3

также выполнено.

По признаку Лейбница знакочередующийся ряд сходится.

При

данный

степенной ряд превращается в

числовой ряд с

положительными членами

который является обобщенным гармоническим рядом с 13 1 и,

следовательно, расходится.

1 ; 1

Таким образом, промежуток является областью сходимости

4 4

исходного степенного ряда.

Пример2.4. Пользуясь одним из разложений элементарных функций в

ряд Маклорена, вычислить значение 1 с точностью до 0,001.

3 e

Решение. Воспользуемся разложением

ex 1	x	x2			x3	x4	... .

1! 2! 3! 4!
Полагая x			1	, получаем:

3

<<< < Предыдущая 12 / 42 3 4 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
08.01.2021808.28 Кб14130.pdf
#
08.01.2021808.73 Кб14131.pdf
#
08.01.2021809.52 Кб14133.pdf
#
08.01.2021810.12 Кб14134.pdf
#
08.01.2021810.96 Кб14135.pdf
#
08.01.2021811.07 Кб04136.pdf
#
08.01.2021811.46 Кб54137.pdf
#
08.01.2021811.47 Кб14138.pdf
#
08.01.2021812.27 Кб104139.pdf
#
08.01.2021195.35 Кб1414.pdf
#
08.01.2021813.07 Кб24140.pdf