Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Воронежская государственная лесотехническая академия

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

4078

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

08.01.2021

Размер:

777.24 Кб

Скачать

☆

1 / 31 2 3 > Следующая >>>

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ

«ВОРОНЕЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ЛЕСОТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМЕНИ Г. Ф. МОРОЗОВА»

Математика

Высшая математика

Математика (геометрия)

Методические указания для самостоятельной работы студентов

по направлениям подготовки

05.03.06– Экология и природопользование,

35.03.01– Лесное дело,

35.03.10– Ландшафтная архитектура

Воронеж 2016

УДК 517.9

Веневитина, С.С. Математика. Высшая математика. Математика (геометрия) [Электронный ресурс] : методические указания для самостоятельной работы студентов по направлениям подготовки 05.03.06 – Экология и природопользование, 35.03.01 – Лесное дело, 35.03.10 – Ландшафтная архитектура / С.С. Веневитина, И.В. Сапронов, А.И. Фурменко; М-во образования и науки РФ, ФГБОУ ВО «ВГЛТУ». – Воронеж, 2016. – 27 с.

Печатается по решению учебно-методического совета ФГБОУ ВО «ВГЛТУ» (прот)

Рецензент д-р физ.-мат. наук, профессор Воронежского государственного педагогического университета В.В. Обуховский

Оглавление

1. Неопределенный интеграл……………………………………………….... 4

1.1. Теоретическая часть……………………………………………………….. 4

1.1.1.Понятие неопределенного интеграла………………………………….... 4

1.1.2.Свойства неопределенного интеграла………………………………….. 5

1.1.3.Таблица основных неопределенных интегралов………………………. 5

1.1.4.Основные методы интегрирования……………………………………... 7

1.2. Практическая часть…………………………………………………………. 8

1.3.Индивидуальные задания………………………………………………….. 11

1.4.Вопросы для самоконтроля и повторения………………………………… 13

2. Определенный интеграл………………………………………………….... 14

2.1.Теоретическая часть…………………………………………………………. 14

2.1.1.Условия существования определенного интеграла…………………….. 14

2.1.2.Основные свойства определенного интеграла…………………………... 15

2.1.3.Основная формула интегрального исчисления………………………….. 17

2.1.4.Основные правила интегрирования……………………………………... 17

2.1.5.Геометрические приложения определенного интеграла……………….. 18

2.2.Практическая часть……………………………………………………….. 20

2.3.Индивидуальные задания…………………………………………………. 24

2.4.Вопросы для самоконтроля и проверки…………………………………… 26 Библиографический список……………………………………………………... 27

Методические указания содержат необходимый теоретический материал и решение практических примеров, которые помогут студентам выполнить самостоятельную работу, индивидуальные задания, а также расчетнографическую работу по разделам: неопределѐнный интеграл, определѐнный интеграл и его приложения.

f ( x ).

f ( x )

Материалы данной учебно-методической разработки по содержанию, форме изложения и объѐму соответствуют задачам дисциплины и требованиям стандарта соответствующих направлений подготовки.

1. Неопределенный интеграл

1.1. Теоретическая часть

1.1.1. Понятие неопределенного интеграла

Одна из основных задач дифференциального исчисления – нахождение производной заданной функции. Множество вопросов математического анализа и приложений в разнообразных науках приводит к другой задаче: по данной функции найти такую функцию F( x ), производная которой равна функции

Функция F( x ) называется первообразной функции

f ( x ) на интервале

a;b , если для любого x a;b выполняется равенство

F ( x ) f ( x ) .

Например, первообразной функции

f ( x ) x2 ,

, является функция

F( x )

, так как

F ( x )

f ( x ).

Очевидно, что

первообразными

будут также

любые функции

F( x )

C , где C – постоянная, поскольку

x .

F ( x )

f ( x ),

Теорема 1.1.	Если функция	F( x ) является первообразной функции
f ( x ) на a;b ,	то множество	всех	первообразных	для	f ( x ) задается
формулой F( x ) C , где C – постоянное число.
Множество	всех первообразных		функций F( x ) C для f ( x )
называется неопределенным интегралом от функции				f ( x )	и обозначается
символом f ( x )dx .

Таким образом, по определению

S , означающая

f ( x )dx F( x ) C .

Здесь f ( x ) называется подынтегральной функцией, f ( x )dx –

подынтегральным выражением, x – переменной интегрирования, – знаком

неопределенного интеграла (это стилизованная латинская буква суммирование).

Операция нахождения неопределенного интеграла от функции называется интегрированием этой функции. Интегрирование является операцией, обратной дифференцированию. Для проверки правильности выполнения интегрирования нужно продифференцировать результат и получить при этом подынтегральную функцию.

Геометрически неопределенный интеграл представляет собой семейство «параллельных» кривых y F( x ) C , где каждому числовому значению C соответствует определенная кривая семейства. График каждой первообразной

(кривой) называется интегральной кривой.

1.1.2. Свойства неопределенного интеграла

Прежде всего, укажем свойства, которые непосредственно вытекают из определения неопределенного интеграла.

1.	d f ( x )dx f ( x )dx ,	f ( x )dx f ( x ) .
2.	dF( x ) F( x ) C .

Следующие два свойства называются линейными свойствами неопределенного интеграла.

3.kf ( x )dx k f ( x )dx .

4.f ( x ) g( x ) dx f ( x )dx g( x )dx .

Отметим свойство инвариантности формулы интегрирования.

5. Если f ( x )dx F( x ) C , то и

f ( u )dx F( u ) C , где

u ( x ) – произвольная функция, имеющая непрерывную производную.

1.1.3. Таблица основных неопределенных интегралов

Интегралы в приводимой ниже таблице называются табличными. Их следует знать наизусть. В интегральном исчислении нет простых и универсальных правил отыскания первообразных от элементарных функций, как в дифференциальном исчислении. Методы нахождения первообразных (т.е. интегрирования функции) сводятся к указанию приемов, приводящих данный (искомый) интеграл к табличному. Следовательно, необходимо знать табличные интегралы и уметь их узнавать. Часть формул таблицы непосредственно следует из определения интегрирования как операции, обратной дифференцированию. Справедливость всех формул легко проверить дифференцированием.

x dx

x 1

C ,

x 0 .

0 a 1 .

axdx

ln a

4.exdx ex C .

5.sin xdx cos x C .

6.cos xdx sin x C .

tgx C .

cos2 x

ctgx C .

sin2 x

arctgx C .

1 x2

10.

arctg

C .

a2 x2

11.

arcsin x C .

1 x2

12.

arcsin

C .

2 x2

x ( t ), где dx ( t )dt

13.

x a

C .

x2 a2

x a

14.

x x2

C .

x2 a2

1.1.4. Основные методы интегрирования

Метод непосредственного интегрирования

Метод интегрирования, при котором данный интеграл путем тождественных преобразований подынтегральной функции и применения свойств неопределенного интеграла приводится к одному или нескольким табличным интегралам, называется непосредственным интегрированием.

Метод подстановки

Метод интегрирования подстановкой заключается во введении новой переменной интегрирования. При этом заданный интеграл приводится к новому интегралу, который является табличным или к нему сводящимся. Общих методов подбора подстановок не существует. Умение правильно определить подстановку приобретается практикой.

Пусть требуется вычислить интеграл f ( x )dx . Сделаем подстановку

( t ) – функция, имеющая непрерывную производную. Тогда и на основании свойства инвариантности формулы интегрирования получаем формулу интегрирования подстановкой или

формулой замены переменных

	(1.1)
f ( x )dx f ( ( t )) ( t )dt .	(1.1)
После нахождения интеграла правой части этого равенства следует
перейти от новой переменной интегрирования t назад к переменной x .
Иногда целесообразно подбирать подстановку в виде t ( x ) ,	тогда

f ( ( x )) ( x )dx f ( t )dt . Другими словами, формулу (1.1) можно применять справа налево.

С помощью метода замены переменной можно вывести следующие

основные правила интегрирования:
1. Если f (x)dx F(x) C , то	f (kx b)dx	1	F (kx b) C ;
1. Если f (x)dx F(x) C , то	f (kx b)dx	k	F (kx b) C ;
		k


f (x)dx		ln	f (x)	C ;
f (x)		ln	f (x)	C ;
f (x)


f (x)dx		2	f (x) C .

	f (x)
	f (x)

Метод интегрирования по частям

Пусть

u u( x )

v v( x )

–

функции, имеющие непрерывные

производные.

Тогда

d( uv ) u dv v du . Интегрируя

это

равенство,

получим

d( uv ) udv vdu

или

udv uv vdu .

(10.2)

Полученная формула называется формулой интегрирования по частям.

Она

дает

возможность

свести

вычисление интеграла udv

к вычислению

интеграла

vdu ,

который может оказаться существенно более простым, чем

исходный.

Укажем некоторые типы интегралов, которые удобно вычислять методом

интегрирования по частям.

1. Интегралы вида

P( x )ekxdx ,

P( x ) sin kxdx ,

P( x )cos kxdx ,

где

P( x ) –

многочлен,

k –

число. Удобно положить u P( x ) , а за dv

обозначить все остальные сомножители.

Интегралы

вида

P( x )arc sin xdx ,

P( x )arccos xdx ,

P( x )ln xdx ,

P( x )arctgxdx ,

P( x )arcctgxdx .

Удобно

положить

dv P( x )dx , а за u обозначить остальные сомножители.

3. Интегралы вида eax sinbxdx ,

eax cosbxdx ,

где a и b – числа.

За u можно принять функцию u eax .

1.2. Практическая часть

Пример 1.

Вычислить интеграл

x5 x

x 2

dx .

Преобразуем подынтегральную функцию:

x5 x x 2

x 2

Тогда

x x

x4 x

dx =

x4dx

dx 2

dx =

x 2

2ln

C .

При вычислении использовали 3-е и 4-е свойства неопределѐнного

интеграла и табличные интегралы №1 и №2.

x 3

Пример 2.

Вычислить интеграл

5 x2 dx .

Делаем замену

5 x2 t ,

тогда

2xdx dt

xdx

dt .

Следовательно,

5 x2

5 x2 4 C .

x 3

5 x2

dx =

xdx

Пример 3.

Вычислить интеграл

arctg x

dx .

1 x

Делаем замену

arctgx t ,

тогда

dt .

1 x2

Следовательно,

arctg

dx = t

2dt

arctg

C .

1 x

Пример 4.

Вычислить интеграл

xsin 5x dx .

Воспользуемся формулой интегрирования по частям:

udv uv vdu .

x sin(5x)dx

u x

dv sin(5x)dx

x cos(5x)

cos(5x)

			1			cos(5x)dx											1		x cos(5x)								1		sin(5x) C .
						cos(5x)dx													x cos(5x)										sin(5x) C .
	5									5												25
	Пример 5.										Вычислить интеграл																	ln 2x dx .
	ln 2x dx =										u ln(2x)													dv dx						xln(2x) x													1	dx
											u ln(2x)													dv dx
											1
											1
											du							dx							v x																		x
											du				x			dx							v x																		x
	xln(2x) x C .
	Пример 6.									Вычислить интеграл																							5x 3						dx .

																															3x2 3x 10
																																					5				2x 1							11
																																									2x 1
									5x 3											1					5x			3						1			2									2
													dx						=													dx					2									2					dx =
							3x2 3x 10						dx						=	3				x2 x					10			dx			3					x2 x						10					dx =
																								x2 x					3											x2 x							3
																													3																		3
	1 5								2x 1											1 11										dx							5									10
	1 5								2x 1											1 11										dx							5									10
														dx																								ln				x2			x
		3			2			x2 x				10		dx							3		2						1 2					37			6	ln				x2			x					3
								x2 x													3		2						1 2					37
										3																x
										3																			2					12
																													2					12
																x				1
						11			1		arctg					x				2		C .
						11			1											2
				6
									37										37
									37										37

									12										12
	При решении мы воспользовались																											правилом								(x)dx ln													(x)			C
	При решении мы воспользовались																											правилом								(x)dx ln													(x)			C
и табличным интегралом № 10.																																					( x)
																																					( x)

	Пример 7.									Вычислить интеграл																							7x 15							dx .

																															x3 2x2 3x
	а)				Знаменатель подынтегральной функции разложим на множители:

x3 2x2 3x x x2 2x 3 x x 1 x 3 .

б) подынтегральную функцию представим в виде суммы простейших дробей:

1 / 31 2 3 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
08.01.2021775.47 Кб04073.pdf
#
08.01.2021775.48 Кб54074.pdf
#
08.01.2021776.4 Кб14075.pdf
#
08.01.2021776.87 Кб14076.pdf
#
08.01.2021776.87 Кб24077.pdf
#
08.01.2021777.24 Кб34078.pdf
#
08.01.2021777.84 Кб44079.pdf
#
08.01.2021195.12 Кб3408.pdf
#
08.01.2021778.24 Кб24080.pdf
#
08.01.2021779.04 Кб84081.pdf
#
08.01.2021779.4 Кб44082.pdf